Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx-3x+8．
（1）求函數(shù)y=f（x）在[e，e³]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的值域；
（2）設0＜a＜b，求證：$0＜2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）＜（{b-a}）ln3$．

Answer 1

分析 （1）法一：求出f（x）的導數(shù)，計算f（e），f（e²），f（e³）的值，從而求出函數(shù)的值域；法二：求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）令g（b）=2f（a）+f（b）-3f（$\frac{2a+b}{3}$），通過討論函數(shù)的單調(diào)性，證明即可．

解答 解：（1）法一：由題易知f′（x）=lnx-2，由f′（x）=0可得x=e²．
因為f（e）=8-2e，f（e²）=8-e²，f（e³）=8，
故函數(shù)y=f（x）在[e，e³]的值域為[8-e²，8]；
法二：由題易知f′（x）=lnx-2，由f′（x）＞0可得x＞e²，
由f′（x）＜0可得0＜x＜e²，
故函數(shù)y=f（x）在（0，e²）遞減，在（e²，+∞）遞增，
從而y=f（x）在[e，e²）遞減，在[e²，e³]遞增，
因為f（e）=8-2e，f（e²）=8-e²，f（e³）=8，
故函數(shù)y=f（x）在[e，e³]的值域為[8-e²，8]；
（2）令$g（b）=2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）$，
則$g'（b）=f'（b）-f'（{\frac{2a+b}{3}}）=ln\frac{3b}{2a+b}＞0$，
故g（b）在（a，+∞）遞增，得g（b）＞g（a）=0，
令h（b）=g（b）-（b-a）ln3，
則h'（b）=g'（b）-ln3=$ln\frac{2a+b}＜0$，
故函數(shù)h（b）在（a，+∞）遞減，
得h（b）＜h（a）=0，
故g（b）＜（b-a）ln3，
綜上可知0＜g（b）＜（b-a）ln3，
即$0＜2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）＜（{b-a}）ln3$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．