Question

1．已知函數(shù)f（x）=x-2sinx（x$∈[0，\frac{π}{2}]$），求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：由f（x）=x-2sinx，得f′（x）=1-2cosx，
因為x$∈[0，\frac{π}{2}]$，
令f′（x）=1-2cosx=0，解得x=$\frac{π}{3}$；                                 
令f′（x）=1-2cosx＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$；                             
令f′（x）=1-2cosx＜0，解得：0＜x＜$\frac{π}{3}$；                               
列表：

x	0	（0，$\frac{π}{3}$）	$\frac{π}{3}$	（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$
f′（x）		-	0	+
f（x）	0		極小值		$\frac{π}{2}$-2

∴當x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極小值為f（x）_極小值=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$，
又f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$-2，
且$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$＜$\frac{π}{2}$-2＜0，所以f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{2}$）＜f（0），
∴函數(shù)f（x）的最大值為0，最小值為$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．