Question

【題目】在數(shù)列中， ， ， ，其中．

⑴ 求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)， ，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，試求數(shù)列的最大值.

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵⑶

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式分析可得與的關(guān)系式，由等差數(shù)列的定義分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為的表達(dá)式，當(dāng) 且為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，求出的表達(dá)式，分析可得答案；
（3）由（2）的結(jié)論求出 即可得的表達(dá)式，設(shè) ，由數(shù)列的函數(shù)特征分析數(shù)列 變化的規(guī)律，分析可得答案．

試題解析：

⑴證明：

，

，

數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列；

⑵由⑴可知， ，故.

因?yàn)?/span>，

所以 ，

當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，

則

，

要使對(duì)且為偶數(shù)恒成立，

只要使對(duì)且為偶數(shù)恒成立，

即使對(duì)為正偶數(shù)恒成立，

， ，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；

⑶由⑴得， ，

，

，

設(shè)，

，

當(dāng)時(shí)， ，即，

當(dāng)時(shí)， ，即，

，

因此數(shù)列的最大值為．