已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，對(duì)于一切的n∈N^*均有成立．

(1)證明：數(shù)列{a_n}中的任意一項(xiàng)都小于1；

(2)探究a_n與的大小，并證明你的結(jié)論．

甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用ξ₁，ξ₂分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字．

(1)求概率P(ξ₁＞ξ₂)；

(2)記，求η的分布列與數(shù)學(xué)期望．

求直線(t為參數(shù))被曲線所截的弦長(zhǎng)．

已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1，2)變換成(－2，4)，求矩陣M．

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方體，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)CP交AB于M．

求證：(1)M是AB的中點(diǎn)；

(2)求線段BP的長(zhǎng)．

已知函數(shù)f(x)＝2x＋alnx．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的范圍

(2)若a＜0，對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)x₁、x₂總有：

(3)若存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≤(a＋3)x－x²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

已知點(diǎn)列B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)順次為直線上的點(diǎn)，點(diǎn)列A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)，…(n∈N^*)順次為x軸上的點(diǎn)，其中x₁＝a(0＜a＜1)，對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．

(1)證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；

(2)求證：對(duì)任意的n∈N^*，x_n+2－x_n是常數(shù)，并求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；

(3)若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有正三角形，若有，求出實(shí)數(shù)a

已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．

(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證直線AB的斜率為定值；

(3)求△PAB面積的最大值．

已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的掌握程度y與學(xué)習(xí)時(shí)間t(單位時(shí)間)之間的關(guān)系為y＝f(t)＝，這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學(xué)習(xí)曲線”．已知這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù)：t＝4，y＝50％；t＝8，y＝80％．

(1)試確定該項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式f(t)；

(2)若定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的平均學(xué)習(xí)效率為，問(wèn)這項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)從哪一刻開(kāi)始的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均學(xué)習(xí)效率最高．

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝3，AC＝AB＝4，PB＝PC＝BC＝5，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上的一點(diǎn)，且PF∶FC＝3∶1．

(Ⅰ)求證：PA⊥BC；

(Ⅱ)試在PC上確定一點(diǎn)G，使平面ABG∥平面DEF；