已知線段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：MN//平面PAD；

(Ⅱ)當(dāng)∠PDA＝45°時(shí)，求證：MN⊥平面PCD

(幾何證明選講)如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，MN切⊙O于M交AC延長(zhǎng)線于N，且MN∥BC，BC、AM交于P

求證：MC²＝BP＝MN．

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分別是A₁A，D₁C，AD的中點(diǎn)．求證：

(Ⅰ)MN//平面ABCD；

(Ⅱ)MN⊥平面B₁BG．

如圖，在三棱柱BCE－ADF中，四邊形ABCD是正方形，DF⊥平面ABCD，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一點(diǎn)．

(1)求證：GN⊥AC；

(2)若FG＝GD，求證：GA∥平面FMC．

已知數(shù)列{a_n}，a_n≥0，a₁＝0，a_n+1²＋a_n+1－1＝a_n²(n∈N^*)．記：

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．．

求證：當(dāng)n∈N^*時(shí)，

(Ⅰ)a_n＜a_n+1；

(Ⅱ)S_n＞n－2；

(Ⅲ)T_n＜3．

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線AP垂直直線OM，垂足為P．

(Ⅰ)證明：OM·OP＝OA²；

(Ⅱ)N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K．證明：∠OKM＝90°．

在等式cos2x＝2cos²x－1(x∈R)的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化簡(jiǎn)得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上題的想法(或其他方法)，結(jié)合等式(x∈R，正整數(shù)n≥2)，證明：．

(2)對(duì)于正整數(shù)n≥3，求證：

(i)；

(ii)；

(iii)．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：l³＋2³＋3³＋…＋n³＝n²(n＋1)²(n∈N^﹡)．

已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos²＋bsin²＜c，

求證：．

(不等式證明選講)若，證明