已知函數(shù)f（x）=

1

mx2-4mx+1

的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍．

已知?jiǎng)訄AP與圓F₁：（x+3）²+y²=81相切，且與圓F₂：（x-3）²+y²=1相內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C；設(shè)Q為曲線C上的一個(gè)不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作OQ的平行線交曲線C于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）試探究|MN|和|OQ|²的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）記△QMN的面積為S，求S的最大值．

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)f（x），H（x），g（x）在公共定義域D上，滿足f（x）＜H（x）＜g（x），那么就稱H（x） 為f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”．設(shè)g（x）=x²-4x，求證：當(dāng)2＜a＜

5

2

時(shí)，在區(qū)間（0，2]上，函數(shù)f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”有無窮多個(gè)．

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）比較f（1）與f（-1）的大小；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若|

a

-

b

|=1，試判斷|a-b|與1的大小關(guān)系并證明．

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=

π

3

，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分別在棱PC、PA上，CE=

1

3

CP，AF=

1

3

AP，G為PD中點(diǎn)，△PBD是邊長為6的等邊三角形．
（Ⅰ）求證：B、E、C、F四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）求V_{四棱錐P-BECF}．

設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式2x-3a≤0在區(qū)間（-4，1）上恒成立；命題q：函數(shù)y=3 x2-ax+1在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．若命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．

已知函數(shù)y=x²，-2≤x≤a，其中a≥-2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．

已知點(diǎn)P₀（x₀，y₀）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）內(nèi)，求過P₀的弦中點(diǎn)的軌跡方程．