如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長(zhǎng)為4

2

，且△AF₁F₂面積最大時(shí)，△AF₁F₂為直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上；
（3）試問，是否存在x軸上的點(diǎn)T（t，0），使得

TA

•

TB

為定值，若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個(gè)五元子集滿足：S中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問：至多有多少個(gè)五元子集？

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=ax-lnx，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）+g（x）在[2，3]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：e²x＞

5

2

+（1+

1

x

）lnx．

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AD，DD₁的中點(diǎn)，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求證：EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）求A₁A的長(zhǎng)；
（3）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）證明AD⊥PC
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

已知tan（π+x﹚=-3，x∈[

π

2

，π]，求：
（1）cos（π-x﹚；
（2）sin²x-sinxcosx．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n=

Sn

n(2n-1)

，且a₁=

1

3

．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，記OM，AB的斜率分別為k_OM，k_AB，則k_OM•k_AB=-

b2

a2

．
（1）類比橢圓的上述性質(zhì)，給出一個(gè)在雙曲線中也成立的性質(zhì)；
（2）證明（1）中的結(jié)論．

已知階矩陣A=

1 2 2 1

，向量β=

2 2

（1）求階矩陣A的特征值和特征向量；
（2）計(jì)算A²β