已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且當(dāng)x＞0時(shí)，滿足

f(x)

x

＞f′（x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“已知m、n∈N^*且n＞m≥2，證明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m”提出各自的解題思路．
甲說(shuō)：“用二項(xiàng)式定理將不等式的左右兩邊展開，運(yùn)用放縮法即可證明”
乙說(shuō)：“通過(guò)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明”
參考上述解題思路，結(jié)合自己的知識(shí)，請(qǐng)你證明此不等式．

青年歌手電視大賽共有10名選手參加，并請(qǐng)了7名評(píng)委，如圖所示的莖葉圖（圖1）是7名評(píng)委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評(píng)定的成績(jī)，流程圖用來(lái)編寫程序統(tǒng)計(jì)每位選手的成績(jī)（各評(píng)委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值），試根據(jù)所給條件回答下列問題：

（1）根據(jù)莖葉圖，選手乙的成績(jī)中，眾數(shù)是多少？選手甲的成績(jī)中，中位數(shù)是多少？
（2）在流程圖（如圖2所示）中，用k表示評(píng)委人數(shù)，用a表示選手的成績(jī)（各評(píng)委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值）．橫線①、②處應(yīng)填什么？
（3）根據(jù)流程圖，甲、乙的成績(jī)分別是多少？

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{

2n

an+1

}的前n項(xiàng)和，求S_n．
（3）證明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

5

3

（n∈N^*）．

解不等式：3x²-x-4＞0．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

3

5

，2a_n+1a_n+a_n+1=3a_n，n∈N．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t，使m，s，t成等差數(shù)列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知中心在原點(diǎn)的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，點(diǎn)（2，1）在橢圓上，求a的取值范圍．

已知二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，
①若函數(shù)y=g（x）-m的零點(diǎn)有三個(gè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最小值．

執(zhí)行如圖程序框圖：
（1）如果在判斷框內(nèi)填入“a≤0.05”，請(qǐng)寫出輸出的所有數(shù)值；
（2）如果在判斷框內(nèi)填入“n≥100”，試求出所有輸出數(shù)字的和．

已知：f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，
f（x）＜0．
（1）求y=f（x）的解析式
（2）解x的不等式ax²+bx+c≤0．

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N^*，有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．