10．已知兩定點(diǎn)$M（-\sqrt{6}，0），N（\sqrt{6}，0）$，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)R滿足$\overrightarrow{PR}=（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{RQ}$，點(diǎn)R的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l與x軸交于點(diǎn)E，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{{EA}^{2}}$+$\frac{1}{{EB}^{2}}$為定值？若存在，請指出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由．

9．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF與BC所成的角的正切值．
（2）求三棱錐C-B₁D₁F的體積．

8．已知中心在原點(diǎn)的橢圓Γ₁和拋物線Γ₂有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓Γ₁的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線Γ₂的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
（Ⅰ） 求橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程；
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)P為拋物線Γ₂準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線Γ₂的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值．

7．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為常數(shù)）在x=ln2處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²+1；
（3）證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

5．已知f（x）=sin（2x+φ），若$f（\frac{π}{3}）=0$，則函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸直線是（　�。�

A．

$x=\frac{π}{3}$

B．

$x=\frac{2π}{3}$

C．

$x=\frac{5π}{12}$

D．

$x=\frac{7π}{12}$

4．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為$4（\sqrt{2}+1）$．一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）探究$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是否是個(gè)定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知
曲線C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（I）寫出C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)C₁和C₂的交點(diǎn)為P，求點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．

2．設(shè)A、B分別是直線y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x和y=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{2}$，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0）做兩條相互垂直的直線l₁，l₂，直線l₁，l₂與點(diǎn)P的軌跡相交弦分別為CD、EF，設(shè)CD、EF的弦中點(diǎn)分別為M、N，求證：直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn)．

1．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，求k的值．