【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為．計(jì)劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型．

（1）求的值；

（2）設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為．

①請(qǐng)寫(xiě)出公路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出其定義域；

②當(dāng)為何值時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，且恒成立，求的取值范圍（其中常數(shù)滿(mǎn)足）．

【題目】已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).

【題目】在四棱錐中，平面，，底面是梯形，∥，，．

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)為棱上一點(diǎn)， ，試確定的值使得二面角為．

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意，．

(1)若函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f (x)的值域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【題目】某品牌茶壺的原售價(jià)為80元一個(gè)，今有甲、乙兩家茶具店銷(xiāo)售這種茶壺，甲店用如下的方法促銷(xiāo)：如果只購(gòu)買(mǎi)一只茶壺，其價(jià)格為78元/個(gè)；如果一次購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)茶壺，其價(jià)格為76元/個(gè)；…；如果一次購(gòu)買(mǎi)的茶壺?cái)?shù)每增加一個(gè)，那么茶壺的價(jià)格減少2元/個(gè)，但茶壺的售價(jià)不得低于44元/個(gè)。乙店一律按原價(jià)的75%銷(xiāo)售。現(xiàn)某茶社要購(gòu)買(mǎi)這種茶壺個(gè)，如果全部在甲店購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為元；如果全部在乙店購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為元。

（1）分別求出、與之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）該茶社去哪家茶具店購(gòu)買(mǎi)茶壺花費(fèi)較少？

【題目】已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，點(diǎn)在軸上的射影是，且 (且)， .

(1)求證： 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)設(shè)四邊形的面積是，求證： .

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)，為實(shí)常數(shù)．

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值組成的集合也是，若存在，求出，的值；否則，說(shuō)明理由．

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）在區(qū)間上畫(huà)出函數(shù)的圖象；

（2）設(shè)集合，．試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)圖象的上方．