在平面直角坐標系中，以為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點，點，求的值．

【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）請分析函數(shù)y= +1是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因；
（2）若該公司采用函數(shù)模型y= 作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

【題目】已知（），定義.

（1）求函數(shù)的極值

（2）若，且存在使，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，試討論函數(shù)（）的零點個數(shù).

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當時， ，求實數(shù)的取值范圍．

【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在， 兩家餐廳用餐的滿意度，從在， 兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分.

整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分成6組： ， ， ， ， ， ，得到餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，和餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表：

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對餐廳評分低于30的人數(shù)；

（Ⅱ）從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；

（Ⅲ）如果從， 兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.

【題目】已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最大值；

（Ⅲ）設(shè)直線， 分別與軸交于點， .判斷， 大小關(guān)系，并加以證明.

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）給出的一個取值，使得曲線存在斜率為的切線，并說明理由；

（Ⅱ）若存在極小值和極大值，證明： 的極小值大于極大值.

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x﹣ （x∈R）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣ 的定義域為集合A，B={x∈Z|3＜x＜11}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．
（1）求A，（RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求實數(shù)a的取值范圍．

【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習熱情，某校開展《中國漢字聽寫大會》的活動．為響應(yīng)學(xué)校號召，2（9）班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績畫出莖葉圖，如圖所示，甲的成績中有一個數(shù)的個位數(shù)字模糊，在莖葉圖中用表示．（把頻率當作概率）．

（1）假設(shè)，現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度，你認為派哪位學(xué)生參加比較合適？

（2）假設(shè)數(shù)字的取值是隨機的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．