【題目】對于正整數(shù)，若存在1，2，…，的一個排列滿足

（），則稱為“循球數(shù)”.證明：

（1）9、11都是循環(huán)數(shù)；

（2）為循環(huán)數(shù)的一個必要不充分條件是為質(zhì)數(shù).

【題目】已知若干個長方體盒子，其棱長均為不大于正奇數(shù)的正整數(shù)（允許三棱長相同），且盒壁厚度忽略不計，每個盒子的三組對面分別染為紅、藍、黃三色，若沒有一個盒子能以同色面平行的方式裝入另一個盒子中，則稱這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個和諧盒子？

【題目】已知偶函數(shù)滿足，且當時，，關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.

C.D.

（1）新數(shù)的位數(shù)；

（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。

（1）每個人至少認識其中的671個人；

（2）對于其中任意兩個人、，若、相互不認識，則總可以通過其他人間接認識，即存在，使得認識，認識，認識；

（3）不可以將2012位學者排成一排，使得相鄰的兩個人相互認識.

證明：可以將2012位學者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認識，另一組任何兩個人不認識.

【題目】為鼓勵應屆畢業(yè)大學生自主創(chuàng)業(yè)，國家對應屆畢業(yè)大學生創(chuàng)業(yè)貸款有貼息優(yōu)惠政策，現(xiàn)有應屆畢業(yè)大學生甲貸款開小型超市，初期投入為72萬元，經(jīng)營后每年的總收入為50萬元，該公司第年需要付出的超市維護和工人工資等費用為萬元，已知為等差數(shù)列，相關(guān)信息如圖所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）該超市第幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）

（Ⅲ）該超市經(jīng)營多少年，其年平均獲利最大？最大值是多少？（年平均獲利）

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

【題目】一只蒼蠅和只蜘蛛被放置在方格表的一些交點處.一次操作包括以下步驟：首先，蒼蠅移動到相鄰的交點處或者原地不動，然后，每只蜘蛛移動到相鄰交點處或者原地不動（同一交點可以同時停留多只蜘蛛）.假設每只蜘蛛和蒼蠅總是知道其他蜘蛛和蒼蠅的位置.

（1）找出最小的正整數(shù)，使得在有限次操作內(nèi)，蜘蛛能夠抓住蒼蠅，且與其初始位置無關(guān)；

（2）在的空間三維方格中，（1）中的結(jié)論又是怎樣？

（注）題中相鄰是指一個交點僅有一個坐標與另一個交點的同一坐標不同，且差值為1；題中抓住是指蜘蛛和蒼蠅位于同一交點.

【題目】設、為正整數(shù)，表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明：對于任意，存在無窮多個正整數(shù)，使得.