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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美,寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));
②曲線C上存在到原點(diǎn)的距離超過的點(diǎn);
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).
A.0B.1C.2D.3
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【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①對任意的恒有成立;②當(dāng)時(shí),.記函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,矩形中,,E為邊的中點(diǎn),將沿直線翻轉(zhuǎn)成(平面).若M、O分別為線段、的中點(diǎn),則在翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.與平面垂直的直線必與直線垂直;
B.異面直線與所成角是定值;
C.一定存在某個(gè)位置,使;
D.三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值;
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【題目】如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu),該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的,且前后、左右、上下均對稱,每個(gè)四棱柱的底面都是邊長為2的正方形,高為4,且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這個(gè)幾何體有________個(gè)面,其體積為________.
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【題目】為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動,并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:
(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;
(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效,并說明理由.
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【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為梯形,,.
(1)平面;
(2)平面;
(3)是棱的中點(diǎn),棱上存在一點(diǎn),使.
正確命題的序號為______.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,過極點(diǎn)的射線與曲線相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),且點(diǎn)的極坐標(biāo)為,其中.
(1)求的值;
(2)若射線與直線相交于點(diǎn),求的值.
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【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意,任意,不等式恒成立時(shí)最大的記為,當(dāng)時(shí),的取值范圍.
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【題目】某市積極貫徹落實(shí)國務(wù)院《“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案》,空氣質(zhì)量明顯改善.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計(jì)了某月(30天)空氣質(zhì)量指數(shù),繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級與空氣質(zhì)量指數(shù)對照如下表:
空氣質(zhì)量指數(shù) | 300以上 | |||||
空氣質(zhì)量等級 | 一級 (優(yōu)) | 二級 (良) | 三級 (輕度污染) | 四級 (中度污染) | 五級 (重度污染) | 六級 (嚴(yán)重污染) |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì),在這30天中,空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良的天數(shù);
(2)根據(jù)體質(zhì)檢查情況,醫(yī)生建議:當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于90時(shí),市民甲不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動;當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于70時(shí),市民乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動(兩人是否進(jìn)行戶外體育運(yùn)動互不影響).
①從這30天中隨機(jī)選取2天,記乙不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動,且甲適宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動的天數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②以該月空氣質(zhì)量指數(shù)分布的頻率作為以后每天空氣質(zhì)量指數(shù)分布的概率(假定每天空氣質(zhì)量指數(shù)互不影響),甲、乙兩人后面分別隨機(jī)選擇3天和2天進(jìn)行戶外體育運(yùn)動,求甲恰有2天,且乙恰有1天不宜進(jìn)行戶外體育運(yùn)動的概率.
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