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【題目】已知函數(shù)

1)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若不等式對于任意的恒成立,求的取值范圍.

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【題目】已知在多面體中,,,,且平面平面.

(1)設(shè)點為線段的中點,試證明平面;

(2)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.

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【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個,一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當小球從兩釘之間的間隙下落時,由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去,在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.

(Ⅰ)理論上,小球落入4號容器的概率是多少?

(Ⅱ)一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗,設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.

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【題目】設(shè)橢圓的右焦點為,過的直線交于兩點,點的坐標為.

(1)當軸垂直時,求直線的方程;

(2)設(shè)為坐標原點,證明:.

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【題目】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點,PA=PB=PC=2,,點BAC上的射影為D,則三棱錐體積的最大值為( )

A.B.C.D.

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【題目】已知橢圓的左焦點為,設(shè)是橢圓的兩個短軸端點,是橢圓的長軸左端點.

1)當時,設(shè)點,,直線交橢圓,且直線、的斜率分別為,,求的值;

2)當時,若經(jīng)過的直線與橢圓交于,兩點,為坐標原點,求的面積之差的最大值.

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【題目】已知三棱錐如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,均為正三角形,在三棱錐中:

(I)證明:平面平面;

Ⅱ)若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值.

圖一

圖二

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【題目】水車在古代是進行灌溉引水的工具,是人類的一項古老的發(fā)明,也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車,一個水斗從點A(3,-3)出發(fā),沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn),且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過t秒后,水斗旋轉(zhuǎn)到P點,設(shè)P的坐標為(x,y),其縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<).則下列敘述錯誤的是(  )

A.R=6,ω=,φ=-

B.當t∈[35,55]時,點P到x軸的距離的最大值為6

C.當t∈[10,25]時,函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減

D.當t=20時,|PA|=6

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【題目】已知函數(shù)

1)求當處的切線的斜率最小時,的解析式;

2)在(1)的條件下,是否總存在實數(shù)m,使得對任意的,總存在,使得成立?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由.

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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(2bc)cos Aacos C

(1)求角A的大。

(2)若a=3,b=2c,求△ABC的面積.

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