已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，P為A₁B上的點(diǎn)，

A1P

=λ

A1B

，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求異面直線PC與AC₁所成角的余弦值．

已知圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

8sinθ

1+cos2θ

，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．

已知二階矩陣M滿足：M

0 1

=

1 0

，M

1 2

=

2 1

，求M²．

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和是S_n，存在常數(shù)A，B使a_n+S_n=An+B對任意正整數(shù)n都成立．
（1）設(shè)A=0，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若p＜q，且

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，求p，q的值．
（3）設(shè)A＞0，A≠1，且

an

an+1

≤M對任意正整數(shù)n都成立，求M的取值范圍．

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為T，過橢圓的上頂點(diǎn)A作橢圓的右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，四邊形AF₁F₂D為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)線段F₂D與橢圓交于點(diǎn)M，是否存在實(shí)數(shù)λ，使

TA

=λ

TM

？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由；
（3）若B是直線l上一動點(diǎn)，且△AF₂B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓方程．

某廣場一雕塑造型結(jié)構(gòu)如圖所示，最上層是一呈水平狀態(tài)的圓環(huán)，其半徑為2m，通過金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃支撐在地面B處（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圓環(huán)上的三等分點(diǎn)，圓環(huán)所在的水平面距地面10m，設(shè)金屬桿CA₁，CA₂，CA₃所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為θ．（圓環(huán)及金屬桿均不計(jì)粗細(xì)）
（1）當(dāng)θ的正弦值為多少時，金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長最短？
（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設(shè)置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）個等分點(diǎn)，并仍按上面方法連接，若還要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，對比（1）中C點(diǎn)位置，此時C點(diǎn)將會上移還是下移，請說明理由．

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，M為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：CM⊥DE；
（2）在邊AC上找一點(diǎn)N，使CD∥平面BEN．

△ABC中，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面積；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函數(shù)y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定義域?yàn)榧�合B．
（1）若a=2，求集合B；
（2）若A=B，求實(shí)數(shù)a的值．

若函數(shù)f（x）=x³-ax²（a＞0）在區(qū)間(

20

3

，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則使方程f（x）=1000有整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的個數(shù)是．