在數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)bn=

Sn

2n+1

求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數(shù)m，使得對任意自然數(shù)n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

某工廠用7萬元錢購買了一臺新機器，運輸安裝費用2千元，每年投保、動力消耗的費用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元．
（Ⅰ）求使用n年后，保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計費用S（千元）關(guān)于n的表達式；
（Ⅱ）問這臺機器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費用（單位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均費用最小的時間，年平均費用=（購入機器費用+運輸安裝費用+每年投保、動力消耗的費用+保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計費用）÷機器使用的年數(shù) ）

（Ⅰ）若A={x|mx²+mx+1＞0}=R，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，滿足1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范圍．

（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=n2-2n+2，求通項公式a_n；
（Ⅱ）已知等比數(shù)列{a_n}中，a3=

3

2

，S3=

9

2

，求通項公式a_n．

已知f(n)=log2(1+

1

n

)(n∈N+)，對正整數(shù)k，如果f（n）滿足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）為整數(shù)，則稱k為“好數(shù)”，那么區(qū)間[1，129]內(nèi)所有“好數(shù)”的和S=．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2•a_n+1，求a₇=．

在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為A（0，1）、B（4，2）、C（2，6），如果P（x，y）是△ABC圍成的區(qū)域（含邊界）上的點，那么ω=

y-3

x+1

的范圍是．

在△ABC中，有a：（a+b）：（b+c）=7：10：8，求cosA=．