Question

19．如圖為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，直軌道AB與光滑圓弧軌道BC相切，圓弧軌道的圓心角為37°，半徑為r=0.25m，C端水平，AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5．豎直墻壁CD高H=0.2m，緊靠墻壁在地面上固定一個(gè)和CD等高，底邊長L=0.3m的斜面．一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）在傾斜軌道上從距離B點(diǎn)l=0.5m處由靜止釋放，從C點(diǎn)水平拋出．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小；
（2）小物塊從C點(diǎn)拋出到擊中斜面的時(shí)間；
（3）改變小物體從軌道上釋放的初位置，求小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C的過程，由動(dòng)能定理求出C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由牛頓第二定律求軌道對(duì)小物塊的支持力，再由牛頓第三定律得到小物塊對(duì)軌道的壓力．
（2）小物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系列式，聯(lián)立求解平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得到小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能與釋放的初位置坐標(biāo)的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）小物塊從A到C的過程，由動(dòng)能定理得：$mglsin{37°}+mg（r-rcos{37°}）-μmglcos{37°}=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_0}=\sqrt{3}m/s$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=2.2N
由牛頓第三定律得，小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小為2.2N．
（2）如圖，設(shè)物體落到斜面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為y，
$\frac{L-x}{y}=\frac{L}{H}$
代入得：x=0.3-1.5y
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
x=v₀t，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
聯(lián)立得 $15{t^2}+2\sqrt{3}t-0.6=0$
代入數(shù)據(jù)解得：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{15}s$
（3）由上知 x=0.3-1.5y
$v_0^2{t^2}=v_0^2\frac{2y}{g}={（0.3-1.5y）^2}$
可得：$v_0^2=\frac{{g{{（0.3-1.5y）}^2}}}{2y}$
小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能為：${E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2+mgy=\frac{0.09}{4}mg\frac{1}{y}+\frac{25}{16}mgy-\frac{0.9}{4}$
解得：當(dāng)y=0.12m，E_kmin=0.15J
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小是2.2N；
（2）小物塊從C點(diǎn)拋出到擊中斜面的時(shí)間是$\frac{\sqrt{3}}{15}$s；
（3）改變小物體從軌道上釋放的初位置，小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能的最小值是0.15J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道小球落在斜面上時(shí)具有的幾何關(guān)系，通過函數(shù)法求解動(dòng)能的最小值．