Question

14．如圖所示，在足夠長(zhǎng)的光滑水平地面上有一滑板，滑板AB部分為半徑R=0.15m的$\frac{1}{4}$圓弧，BC段水平，長(zhǎng)度L=0.8m，滑板質(zhì)量M=2.7kg，滑板左側(cè)靠墻．滑塊P₁和P₂ （可視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量都為m=0.9kg，滑塊P1P2與BC面的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，開(kāi)始時(shí)P₁以V₀=1m/s的初速度從A點(diǎn)沿弧面切線滑下，P₂靜止在滑板BC的中點(diǎn)．若P₁與P₂的碰撞為完全非彈性碰撞．g取10m/s²．求：
（1）P₁滑到$\frac{1}{4}$圓弧最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)凹形滑板的壓力？
（2）要使P₁與P₂不發(fā)生碰撞，滑塊與BC面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滑塊與BC面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，試通過(guò)計(jì)算判斷P₁與P₂是否會(huì)從滑板上掉下？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒可求得物體到達(dá)B點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律可求得B點(diǎn)處物體對(duì)軌道的壓力；
（2）由動(dòng)量守恒可求得小車(chē)與物體的共同速度，再由功能關(guān)系可得出物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）對(duì)各過(guò)程由動(dòng)量守恒及功能關(guān)系分析碰后兩物體滑行的距離，從而判斷是否能滑下．

解答 解：（1）設(shè)圓弧軌道半徑為R，取B點(diǎn)所在平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v^2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
設(shè)在B點(diǎn)軌道對(duì)物塊的支持力為F_N，根據(jù)牛頓第二定律有：
F_N-mg=$\frac{{m{v^2}}}{R}$
得：F_N=33N；
設(shè)在B點(diǎn)物塊對(duì)軌道的壓力為F_N′，根據(jù)牛頓第三定律得：
F_N′=F_N=33N；
壓力豎直向下；
（2）設(shè)物塊滑行至軌道末端C處時(shí)與小車(chē)的共同速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₁=（M+2m）•v₂
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=0.4m/s；
對(duì)物塊和小車(chē)應(yīng)用功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}$mv₁2=$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²+μmg$\frac{L}{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.4；
要使P₁與P₂不發(fā)生碰撞μ＞0.4；
（3）P₁與P₂必發(fā)生碰撞，碰前P₁的速度為v₃，P₂和滑板的速度為v₄；
由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₁=mv₃+（M+m）v₄
由功能關(guān)系可知：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$（M+m）v₄²+μmg$\frac{L}{2}$
聯(lián)立解得：v₃=1.2m/s；
v₄=0.2m/s；
P₁與P₂碰撞后共同速度為v₅；
則有：mv₃+mv₄=（m+m）v₅
解得：v₅=0.7m/s；
P₁和P₂碰撞后相對(duì)滑板的距離為S
由能量關(guān)系可知：
$\frac{1}{2}$Mv₄²+$\frac{1}{2}$2mv₅²=$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²+2μmgS
解得：S=0.025m＜$\frac{L}{2}$；
故P₁和P₂碰撞后不會(huì)從滑板上掉下；
答：（1）物塊到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為33N；
（2）動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4．
（3）P₁和P₂碰撞后不會(huì)從滑板上掉下；

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒及功能關(guān)系的綜合應(yīng)用，要注意正確分析受力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從而分別對(duì)每一過(guò)程選擇正確的物理規(guī)律進(jìn)行求解．