Question

7．從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測(cè)，發(fā)射后火箭以太陽(yáng)為焦點(diǎn)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，為了節(jié)省能量，火箭離開(kāi)地球的速度方向與地球的繞日公轉(zhuǎn)速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，軌道的近日點(diǎn)為地球．假定地球和火星均繞日做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑分別為r和R，忽略其他行星對(duì)火箭的作用．
（1）根據(jù)機(jī)械能守恒和開(kāi)普勒第二定律，試求火箭發(fā)射的對(duì)地速度大小．（用其他方法得出正確答案同樣給分）
（2）火箭到達(dá)火星需要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）設(shè)太陽(yáng)、火箭質(zhì)量分別為M、m，火箭在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v₁，v₂．由機(jī)械能守恒和開(kāi)普勒定律列式求解對(duì)日速度，然后求對(duì)地速度；
（2）根據(jù)開(kāi)普勒第三定律求解運(yùn)動(dòng)周期，再根據(jù)t=$\frac{T}{2}$知時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)太陽(yáng)、火箭質(zhì)量分別為M、m，火箭在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v₁，v₂．
由機(jī)械能守恒和開(kāi)普勒定律
知$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{GMm}{r}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{GMm}{R}$
rv₁=Rv₂，
由此二式得v₁=$\sqrt{\frac{2GMR}{r（r+R）}}$，
這是火箭在離開(kāi)地球時(shí)對(duì)日速度，而v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
則火箭相對(duì)地球的速度v=v₁-v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）
（2）而到達(dá)火星的時(shí)間是火箭運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期T，
T=$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
故t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
答：（1）火箭發(fā)射的對(duì)地速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）．
（2）火箭到達(dá)火星需要$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀ ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查機(jī)械能守恒和開(kāi)普勒定律，選取近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)為初末狀態(tài)，求出的速度為對(duì)日速度，注意根據(jù)問(wèn)題選取參考系，會(huì)相對(duì)速度的求解．