Question

14．國外有個(gè)秋千高人，曾經(jīng)挑過360°蕩秋千（圖甲）．為了進(jìn)行相關(guān)的力學(xué)計(jì)算，我們將該情境簡化為如圖物理模型（圖乙）．高人和坐板整體可視為質(zhì)點(diǎn)，總質(zhì)量為60kg，繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，而且不可伸長，質(zhì)點(diǎn)繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為5m．

（1）高人要想安全地沿著圓軌道通過最高點(diǎn)B點(diǎn)，他在B點(diǎn)時(shí)的速度不能低于多少？
（2）如果從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)系統(tǒng)克服阻力做功為A處動(dòng)能的20%，為了能夠安全通過B點(diǎn)，高人在最低點(diǎn)A處至少要有多大的速度？
（3）在（2）計(jì)算出的結(jié)果下，在A處繩子至少要能承受多大的力才不會(huì)斷？

Answer 1

分析 （1）考慮臨界情況，即在B點(diǎn)，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）對從A到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）在A點(diǎn)，對人和坐板整體，拉力和重力的合力提高向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，重力恰好提高向心力，則：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：
${v}_{B}=\sqrt{gr}=\sqrt{10×5}=5\sqrt{2}m/s$
（2）對從A到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
-mg•2r-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
其中：${W}_{f}=20%×（\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}）$
聯(lián)立解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{5}{6}{v}_{B}^{2}+\frac{10}{3}gr}$=$\sqrt{\frac{5}{6}×50+\frac{10}{3}×10×5}$=$\frac{25}{3}\sqrt{3}m/s$
（3）在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：
T=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$=60×10+60×$\frac{（5\sqrt{2}）^{2}}{5}$=700N
答：（1）高人要想安全地沿著圓軌道通過最高點(diǎn)B點(diǎn)，他在B點(diǎn)時(shí)的速度不能低于5$\sqrt{2}$m/s；
（2）如果從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)系統(tǒng)克服阻力做功為A處動(dòng)能的20%，為了能夠安全通過B點(diǎn)，高人在最低點(diǎn)A處至少要有$\frac{25}{3}\sqrt{3}m/s$的速度；
（3）在（2）計(jì)算出的結(jié)果下，在A處繩子至少要能承受700的力才不會(huì)斷．

點(diǎn)評 本題以秋千為背景，考查了圓周運(yùn)動(dòng)的知識，關(guān)鍵是建立豎直方向圓周運(yùn)動(dòng)的物理模型，同時(shí)要能夠結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律、向心力公式列式求解．