Question

5．如圖所示，一質(zhì)量為1kg的小物塊從半徑為0.8m的光滑四分之一圓弧軌道的頂端A點由靜止開始下滑，A點和圓弧對應(yīng)的圓心O點等高，小物塊從B點離開后水平拋出，恰好能從C點沿CD方向滑上以10m/s的速度沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動的傳送帶．已知傳送帶長27.75m，傾角為θ等于37°，傳送帶與物塊之間的動摩擦因數(shù)為0.5（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）．求：
（1）小物塊在圓弧軌道最低點B對軌道的壓力大小；
（2）B點到水平線MN的高度h；
（3）小物塊從傳送帶頂端C運動到底端D的過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運動到B的過程中，只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律求出滑塊到達(dá)底端B時的速度．滑塊經(jīng)過B時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓運動定律求解滑塊對軌道的壓力；
（2）物塊從B到C做平拋運動，到C點時速度沿CD方向，將速度分解可得到C點的速度，再根據(jù)機械能守恒求解h．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求解物塊與傳送帶間的相對位移，再乘以摩擦力可得到熱量．

解答 解：（1）滑塊從A運動到B的過程中，由機械能守恒定律得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
在B點：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入解得：N=3mg=30N
由牛頓第三定律可知，滑塊對軌道的壓力為N′=N=30N，方向豎直向下．
（2）物塊從B到C做平拋運動，到C點時速度沿CD方向，則C點的速度 v_C=$\frac{{v}_{B}}{cosθ}$=$\frac{4}{cos37°}$=5m/s
根據(jù)機械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 h=0.45m
（3）小物塊滑上傳送帶后先向下做勻加速運動，設(shè)加速至速度等于傳送帶速度用時t₁，通過的位移為x₁，加速度為a₁．此過程傳送帶的位移為 x₂．
則 a₁=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=10m/s²．
   t₁=$\frac{{v}_{帶}-{v}_{C}}{{a}_{1}}$=$\frac{10-5}{10}$=0.5s
   x₁=$\frac{{v}_{C}+{v}_{帶}}{2}{t}_{1}$=3.75m
   x₂=v_帶t₁=5m
因為μ=0.5＜tan37°，所以物塊與傳送帶共速后繼續(xù)向下做勻加速運動，加速度大小設(shè)為a₂．滑到底端時間為t₂．
則a₂=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=2m/s²．
   L-x₁=v_帶t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
代入解得 t₂=2s
此過程中，傳送帶的位移為x₃=v_帶t₂=20m
物塊從傳送帶頂端C運動到底端D的過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量 Q=μmgcosθ•△x=μmgcosθ•[（x₂-x₁）+（L-x₁-x₂）]=21J
答：（1）小物塊在圓弧軌道最低點B對軌道的壓力大小是30N；
（2）B點到水平線MN的高度h是0.45m；
（3）小物塊從傳送帶頂端C運動到底端D的過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量是21J．

點評 本題是機械能守恒定律、向心力、牛頓第二定律、運動學(xué)公式的綜合應(yīng)用，容易出錯的地方是：Q=μmgcosθ•△x，△x是相對位移，據(jù)此來求解摩擦生熱．