Question

9．如圖所示，底端切線水平且豎直放置的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道的半徑為L，圓心在O點，其軌道底端P距地面的高度及與右側(cè)豎直墻的距離均為L，Q為圓弧軌道上的一點，連線OQ與豎直方向的夾角為60°．現(xiàn)將一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點的小球從Q點由靜止釋放，不計空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）小球在P點時受到的支持力大��；
（2）小球第一次與墻壁碰撞時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從Q到P過程中只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出小球在P點時的速度，再由向心力公式求出支持力；
（2）小球離開P點后做平拋運動，由平拋運動的知識求得小球第一次與墻壁碰撞時下降的高度，再由機械能守恒求得速度的大小．

解答 解：（1）小球從Q到P過程，由機械能守恒定律得：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_P²．
得：v_P=$\sqrt{gL}$
小球在P點時，由牛頓第二定律：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F_N=2mg                  
（2）小球離開P點后做平拋運動，水平位移為L時所用時間為t，則有：
L=v_Pt
小球下落的高度為：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
從Q到第一次撞墻的過程，由機械能守恒定律得：
mgL[（1-cos60°）+h]=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立可以得到：小球第一次與墻壁碰撞時的速度大小為：v=$\sqrt{2gL}$．
答：（1）小球在P點時受到的支持力大小是2mg；
（2）小球第一次與墻壁碰撞時的速度大小是$\sqrt{2gL}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要理清小球的運動過程，運用機械能守恒定律、向心力公式和平拋運動的規(guī)律結(jié)合研究．在注意在P點，由合力充當小球圓周運動的向心力．