Question

9．如圖所示，底端切線水平且豎直放置的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道的半徑為L(zhǎng)，圓心在O點(diǎn)，其軌道底端P距地面的高度及與右側(cè)豎直墻的距離均為L(zhǎng)，Q為圓弧軌道上的一點(diǎn)，連線OQ與豎直方向的夾角為60°．現(xiàn)將一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從Q點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）小球在P點(diǎn)時(shí)受到的支持力大��；
（2）小球第一次與墻壁碰撞時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從Q到P過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出小球在P點(diǎn)時(shí)的速度，再由向心力公式求出支持力；
（2）小球離開(kāi)P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求得小球第一次與墻壁碰撞時(shí)下降的高度，再由機(jī)械能守恒求得速度的大�。�

解答 解：（1）小球從Q到P過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_P²．
得：v_P=$\sqrt{gL}$
小球在P點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F_N=2mg                  
（2）小球離開(kāi)P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移為L(zhǎng)時(shí)所用時(shí)間為t，則有：
L=v_Pt
小球下落的高度為：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
從Q到第一次撞墻的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgL[（1-cos60°）+h]=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立可以得到：小球第一次與墻壁碰撞時(shí)的速度大小為：v=$\sqrt{2gL}$．
答：（1）小球在P點(diǎn)時(shí)受到的支持力大小是2mg；
（2）小球第一次與墻壁碰撞時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gL}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要理清小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、向心力公式和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合研究．在注意在P點(diǎn)，由合力充當(dāng)小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．