Question

6．光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，使小球受到電場(chǎng)力的大小為$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v₀，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v₀及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大支持力．

Answer 1

分析 結(jié)合受力分析，求出小球可能受到的合外力等于0的位置，當(dāng)小球剛好通過(guò)該點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱(chēng)的B點(diǎn)時(shí)，就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)在B點(diǎn)由電場(chǎng)力和重力的合力提供向心力，可求出B點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求出V₀．然后再由動(dòng)能定理求出在最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律即可求出最大支持力．

解答 解：（1）假設(shè)小球能靜止在C點(diǎn)，則C點(diǎn)為該復(fù)合場(chǎng)中的等效最低的，小球受到重力、電場(chǎng)力和軌道的支持力，如圖，由平衡條件得：

電場(chǎng)力 F=mgtanθ
由于F=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg
所以：θ=30°   ①
當(dāng)小球剛好通過(guò)c點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱(chēng)的B點(diǎn)時(shí)，就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)在B點(diǎn)由電場(chǎng)力和重力的合力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}=\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}mg）^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}mg$
所以：${v}_{B}^{2}=\sqrt{\frac{4}{3}}mgR$  ②
小球由A到B的過(guò)程中重力和電場(chǎng)力做功，由功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgR（1+cosθ）+FRsinθ$$+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ③
聯(lián)立①②③得：${v}_{0}=\sqrt{2gR（1+\frac{7\sqrt{3}}{6}）}$
（2）結(jié)合豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，小球在等效最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度最大，受到的軌道的支持力最大．
小球由C到B的過(guò)程中：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=mg2Rcosθ+F2Rsinθ$$+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ④
小球在C點(diǎn)受到的支持力與重力、電場(chǎng)力的合力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{C}^{2}}{R}={F}_{n}-\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}mg）^{2}}$  ⑤
聯(lián)立①②④⑤得：${F}_{N}=（4+\frac{2\sqrt{3}}{3}）mg$
答：v₀的大小是$\sqrt{2gR（1+\frac{7\sqrt{3}}{6}）}$，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大支持力是$（4+\frac{2\sqrt{3}}{3}）mg$．

點(diǎn)評(píng) 本題抓住小球經(jīng)B點(diǎn)時(shí)速度最小，相當(dāng)于豎直平面的最高點(diǎn)，根據(jù)指向圓心的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力為解題關(guān)鍵．