Question

2．如圖所示，真空中有一半徑為尺的圓形勻強磁場區(qū)域，圓心為D，磁場的方向垂直紙面向內，磁感強度大小為B，距離0為2R處有一光屏MN，MN垂直于紙面放置，A0過半徑垂直于屏，延長線交于屏上C點．一個帶負電粒子以初速度v₀沿AC方向進入圓形磁場區(qū)域，最后打在屏上D點，DC相距2$\sqrt{3}$R，不計粒子的重力．求：
（1）該粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）粒子從A到D所用時間．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系求出半徑公式，再利用洛倫茲力提供向心力，即可求出該粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）利用周期公式以及粒子轉過的圓心角，求解粒子在磁場中做圓周運動的時間t₁，再求出粒子做勻速直線運動的時間t₂，將兩個時間做和，即可求出粒子從A到D所用時間．

解答 解：（1）粒子從A點進入磁場后的運動軌跡如圖所示，在磁場范圍內做勻
速圓周運動，從B點離開磁場，之后作勻速直線運動，打到屏上的D點，
由題意可知：DC=2$\sqrt{3}$R，OC=2R
所以有：∠COD=60°，∠AO′O=30°
所以粒子做勻速圓周運動的半徑：r=O′A=$\sqrt{3}$R
根據牛頓第二定律可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
將r代入整理可得粒子的比荷：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$
（2）粒子在磁場中運動的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}πR}{{v}_{0}}$
則粒子在磁場范圍內運動的時間：t₁=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$
根據勾股定理可得：OD²=OC²+CD²可得OD=4R則BD=3R
粒子離開磁場后做勻速直線運動，從B到D所用的時間：t₂=$\frac{3R}{{v}_{0}}$
所以粒子從A到D所用時間：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{3R}{{v}_{0}}$
答：（1）該粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）粒子從A到D所用時間為$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{3R}{{v}_{0}}$．

點評 本題是粒子在磁場中勻速圓周運動和場外做勻速直線運動的綜合．磁場中圓周運動常用方法是畫軌跡，由幾何知識求半徑．