Question

16．自由電子激光器是利用高速電子束射入方向交替變化的磁場(chǎng)，使電子在磁場(chǎng)中擺動(dòng)著前進(jìn)，進(jìn)而產(chǎn)生激光的一種裝置．在磁場(chǎng)中建立與磁場(chǎng)方向垂直的平面坐標(biāo)系xoy，如圖甲所示．方向交替變化的磁場(chǎng)隨x坐標(biāo)變化的圖線如圖乙所示，每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度L=$\frac{3}{10}$$\sqrt{3}$m，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₀=3.75×10^-4T，規(guī)定磁場(chǎng)方向垂直紙面向外為正方向．現(xiàn)將初速度為零的電子經(jīng)電壓u=4.5×10³V的電場(chǎng)加速后，從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)．電子電荷量e=1.6×10^-19C，電子質(zhì)量m取9×10^-31kg，不計(jì)電子的重力，不考慮電子因高速運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的影響．

（1）電子從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為多少？
（2）請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出x=0至x=4L區(qū)域內(nèi)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，計(jì)算電子通過(guò)圖中各磁場(chǎng)區(qū)域邊界時(shí)位置的縱坐標(biāo)并在圖中標(biāo)出；
（3）從x=0至x=NL（N為整數(shù)）區(qū)域內(nèi)電子運(yùn)動(dòng)的平均速度多大．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可以求出電子的速度；
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出電子的軌道半徑，然后作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡；
（3）求出粒子的路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后由平均速度公式求出平均速度．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定定理得：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，代入數(shù)據(jù)解得：v=4×10⁷m/s；       
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，代入數(shù)據(jù)解得：R=0.6m，
由幾何知識(shí)得：△y₁=R-$\sqrt{{R}^{2}-{L}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得：△y₁=0.3m，
同理可得：△y₂=△y₃=△y₄=△y₁=0.3m，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示；
（3）磁場(chǎng)方向變化N次時(shí)，
x=NL，y=n△y₁，s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
電子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=Nt₁，sinθ=$\frac{L}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=$\frac{π}{3}$，t₁=$\frac{θR}{v}$=$\frac{πR}{3v}$，
電子運(yùn)動(dòng)的平均速度：$\overline{v}$=$\frac{s}{t}$=$\frac{N\sqrt{{L}^{2}+△{y}_{1}^{2}}}{N{t}_{1}^{\;}}$，解得：$\overline{v}$=3.82×10⁷m/s；
答：（1）電子從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為4×10⁷m/s；
（2）x=0至x=4L區(qū)域內(nèi)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示；
（3）從x=0至x=NL（N為整數(shù)）區(qū)域內(nèi)電子運(yùn)動(dòng)的平均速度為3.82×10⁷m/s．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般有直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和一般的曲線運(yùn)動(dòng)；直線運(yùn)動(dòng)一般由動(dòng)力學(xué)公式求解，圓周運(yùn)動(dòng)由洛侖茲力充當(dāng)向心力，一般的曲線運(yùn)動(dòng)一般由動(dòng)能定理求解．