Question

19．如圖所示，左端帶有擋板P的長(zhǎng)木板質(zhì)量為m，置于光滑水平面上，勁度系數(shù)很大的輕彈簧左端與P相連，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)右端在O點(diǎn)，木板上表面O點(diǎn)右側(cè)粗糙、左側(cè)光滑．若將木板固定，質(zhì)量也為m的小物塊以速度v₀從距O點(diǎn)L的A點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，與彈簧碰撞后反彈，向右最遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，OB的距離為3L，已知重力加速度為g．
（1）求物塊和木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ及上述過(guò)程彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p．
（2）解除對(duì)木板的固定，物塊仍然從A點(diǎn)以初速度v₀向左運(yùn)動(dòng)，由于彈簧勁度系數(shù)很大，物塊與彈簧接觸時(shí)間很短可以忽略不計(jì)，物塊與彈簧碰撞后，木板與物塊交換速度．
①求物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到剛接觸彈簧經(jīng)歷的時(shí)間t；
②物塊最終離O點(diǎn)的距離x．

Answer 1

分析 （1）物塊從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理列式，可求得動(dòng)摩擦因數(shù)μ．物塊從彈簧壓縮量最大處至B點(diǎn)的過(guò)程，由功能關(guān)系列式，可求得彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p．
（2）①解除對(duì)木板的固定，物塊從A點(diǎn)向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得兩者的加速度．根據(jù)物塊運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)兩者位移之差等于L，列式求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．
②結(jié)合上題的結(jié)果求出物塊剛接觸彈簧時(shí)二者的速度，物塊與彈簧碰撞后，木板與物塊交換速度，物塊和木板碰撞交換速度后，在摩擦力作用下分別做加速和減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度時(shí)間公式列式求得達(dá)到共同速度的時(shí)間和共同速度，再由功能關(guān)系求物塊最終離O點(diǎn)的距離x．

解答 解：（1）研究物塊從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
-μmg（4L）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：μ=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8gL}$
研究物塊從彈簧壓縮量最大處至B點(diǎn)的過(guò)程，由功能關(guān)系有：
-μmg（3L）=0-E_p．
解得：E_p=$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
（2）①設(shè)物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a₁，則有：
μmg=ma₁ 
解得：a₁=μg（方向水平向右）
設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a₂，則有：μmg=ma₂
解得：a₂=μg（方向水平向左）
由幾何關(guān)系有：（v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=L 
解得：t₁=$\frac{2（2-\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$，t₂=$\frac{2（2+\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$（舍去）
②設(shè)物塊剛接觸彈簧時(shí)，物塊和木板速度分別是v₁、v₂，則有：
v₁=v₀-a₁t₁，
v₂=a₂t₁
物塊和木板碰撞交換速度后，在摩擦力作用下分別做加速和減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t、達(dá)到共同速度為v，則有：
v=v₂+a₁t，
v=v₁-a₂t
解得：v₁=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$，v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
上述過(guò)程由功能關(guān)系有：
-μmg（L+x）=$\frac{1}{2}（2m）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：x=L
答：（1）物塊和木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{{v}_{0}^{2}}{8gL}$，上述過(guò)程彈簧的最大彈性勢(shì)能E_p是$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$．
（2）①物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到剛接觸彈簧經(jīng)歷的時(shí)間t是$\frac{2（2-\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$；
②物塊最終離O點(diǎn)的距離x是L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析物塊和木板的運(yùn)動(dòng)情況，判斷能量的轉(zhuǎn)化情況，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分段研究．也可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合研究第二問(wèn)．