Question

1．回旋加速器是用來(lái)加速帶電粒子的裝置，圖20為回旋加速器的示意圖．D1、D2是兩個(gè)中空的鋁制半圓形金屬扁盒，在兩個(gè)D形盒正中間開有一條狹縫，兩個(gè)D形盒接在高頻交流電源上．在D1盒中心A處有粒子源，產(chǎn)生的帶正電粒子在兩盒之間被電場(chǎng)加速后進(jìn)入D2盒中．兩個(gè)D形盒處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶電粒子在磁場(chǎng)力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周后，再次到達(dá)兩盒間的狹縫，控制交流電源電壓的周期，保證帶電粒子經(jīng)過(guò)狹縫時(shí)再次被加速．如此，粒子在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中一次一次地經(jīng)過(guò)狹縫，一次一次地被加速，速度越來(lái)越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越來(lái)越大，最后到達(dá)D形盒的邊緣，沿切線方向以最大速度被導(dǎo)出．已知帶電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)狹縫間電壓大小恒為U，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D形盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d．設(shè)從粒子源產(chǎn)生的帶電粒子的初速度為零，不計(jì)粒子受到的重力，求：
（1）帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能E_k和交變電壓的頻率f；
（2）帶電粒子在D₂盒中第1個(gè)半圓的半徑和第n個(gè)半圓的半徑；
（3）若帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)形成的等效電流為I，求從回旋加速器輸出的帶電粒子的平均功率P．

Answer 1

分析 （1）交變電壓的周期與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相等，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期求出交變電壓的頻率．
（2）帶電粒子在D₁盒中經(jīng)歷第n個(gè)半圓的半徑時(shí)，加速了2n次，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子的速度，根據(jù)半徑公式求出粒子第n個(gè)半圓的半徑
（3）根據(jù)電流的定義式I=$\frac{Q}{t}$和Q=Nq可求得．

解答 解：（1）交變電壓的周期與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相等，
    根據(jù)T=$\frac{2πm}{Bq}$ 得：交變電壓的頻率f=$\frac{1}{T}$=$\frac{Bq}{2πm}$
   由      R=$\frac{mv}{Bq}$ 
得粒子的最大動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，2nqU=$\frac{1}{2}$mv²
    解得v=$2\sqrt{\frac{nqU}{m}}$，
根據(jù) qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，R=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{nUm}{q}}$  第一個(gè)圓的半徑為${R}_{1}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{Um}{q}}$
（3）帶電粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，帶電粒子離開加速器時(shí)速度大小為v，由牛頓第二定律知：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
帶電粒子運(yùn)動(dòng)的回旋周期為：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$   ②
由回旋加速器工作原理可知，交變電源的頻率與帶電粒子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關(guān)系可得：f=$\frac{1}{T}$…③
設(shè)在t時(shí)間內(nèi)離開加速器的帶電粒子數(shù)為N，則帶電粒子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率P=N $\frac{1}{2}$mv²…④
輸出時(shí)帶電粒子束的等效電流為：I=$\frac{Nq}{t}$…⑤
由上述各式得$\overline{P}$=$\frac{πB{R}^{2}I}{T}$=$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$；
答：（1）帶電粒子能被加速的最大動(dòng)能E_k為=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$則變電壓的頻率f為$\frac{Bq}{2πm}$
（2）帶電粒子在D₂盒中第1個(gè)半圓的半徑為${R}_{1}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{Um}{q}}$和第n個(gè)半圓的半徑為 $\frac{2}{B}\sqrt{\frac{nUm}{q}}$．
（3）從回旋加速器輸出的帶電粒子的平均功率P為$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$；

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道回旋加速器利用磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和電場(chǎng)加速實(shí)現(xiàn)加速粒子，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期和交流電的周期相等，注意第3問(wèn)題，建立正確的物理模型是解題的關(guān)鍵