Question

2．用折射率為$\sqrt{2}$的透明物質(zhì)做成內(nèi)外半徑分別為a、b的空心球殼，且b＞a．有一束平行光線射向此球，若不考慮透明物質(zhì)的吸收和外表面的反射．那么：
（1）如果球殼的內(nèi)表面涂有能完全吸收光的物質(zhì)，則能被球殼的內(nèi)表面吸收的光束，在射入外表面前的橫截面積為多少？
（2）如果球殼的內(nèi)表面不涂吸光物質(zhì)，則能射入內(nèi)表面的光束，在射進(jìn)外表面前的橫截面積為多少？

Answer 1

分析 （1）作出經(jīng)第一次折射后與空心球內(nèi)殼相切的光線，由幾何知識(shí)求出折射角的正弦，根據(jù)折射定律，求出入射角的正弦，由幾何知識(shí)求出此平行光束在入射前的橫截面積．平行入射光束中的這部分光的橫截面積．
（2）由題意可得出能從球面射出光線的邊界光線的光路圖；由幾何關(guān)系確定折射角，則可求得折射角，由幾何關(guān)系即可求得入射光束的橫截面積．

解答 解：（1）如圖，若光線經(jīng)球殼折射后恰與球殼的內(nèi)表面相切，則被吸收的光束進(jìn)入球殼前的橫截面積 S=πR²…①
由折射定律有 sini=nsinr…②
由數(shù)學(xué)知識(shí)有 sini=$\frac{R}$…③
 sinr=$\frac{a}$…④
將③④代入②得：R=na
若a＜$\frac{n}$，即a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b時(shí)，S=2πa²…⑤
若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b時(shí)，進(jìn)入球殼的光線全部被吸收，此時(shí)，S=πb²．
（2）如果球殼的內(nèi)表面不涂吸光物質(zhì)，若使光線恰能進(jìn)入內(nèi)表面，必須讓射入內(nèi)表面的折射角為90°，即恰好發(fā)生全反射．如下圖．
由折射定律，進(jìn)入第一表面時(shí)有：n=$\frac{sini}{sinr}$
恰折射進(jìn)入第二表面時(shí)，則有：$\frac{1}{sinC}$=n
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinr}$=$\frac{sin（180°-C）}$
聯(lián)立解得：sini=$\frac{a}$
射進(jìn)外表面前的橫截面積為：S=π（bsini）²=πa²；
答：（1）能被球殼的內(nèi)表面吸收的光束，在射入外表面前的橫截面積為2πa²或πb²．
（2）能射入內(nèi)表面的光束，在射進(jìn)外表面前的橫截面積為πa²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵作出臨界光線，根據(jù)光路圖，通過折射定律和幾何關(guān)系進(jìn)行研究．