Question

11．圓周運動的周期性問題如圖所示，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘AB，相距l(xiāng)₀=0.12m，長l=1m的柔繩細線一端拴在A上，另一端拴住一個質(zhì)量是500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側，把細線拉緊，給小球2m/s的垂直細線方向的水平速度使它做圓周運動，由于釘子B的存在，線慢慢地纏在A、B上．若細線能承受的最大張力是F_m=6.5N，求：
（1）當繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間，繩子拉力大小的比值；
（2）小球經(jīng)過幾個半圓運動后繩子會被拉斷；
（3）小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間拉力的表達式，從而得出拉力大小之比．
（2）根據(jù)最大拉力，結合牛頓第二定律求出繩子斷開時做圓周運動的半徑，從而結合繩子的原長求出經(jīng)過幾個半圓運動后繩子會被拉斷．
（3）根據(jù)弧長和線速度求出每個半周的時間，結合半圓運動的次數(shù)求出運動的總時間．

解答 解：（1）碰觸鐵釘B前瞬間繞A做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，
碰觸鐵釘B后瞬間繞B做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-{l}_{0}}$，
解得$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{l-{l}_{0}}{l}=\frac{1-0.12}{1}=0.88$．
（2）當繩子被拉斷時，有：${F}_{m}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得r=$\frac{m{v}^{2}}{{F}_{m}}=\frac{0.5×4}{6.5}m≈0.31m$，
n=$\frac{l-r}{{l}_{0}}=\frac{1-0.31}{0.12}=5.75$，可知經(jīng)過6個半圓運動后繩子會被拉斷．
（3）在第一個半周期內(nèi)：${t}_{1}=\frac{πl(wèi)}{v}$，
在第二個半周期內(nèi)：${t}_{2}=\frac{π（l-{l}_{0}）}{v}$，
在第三個半周期內(nèi)：${t}_{3}=\frac{π（l-2{l}_{0}）}{v}$，
…
則小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時間t=t₁+t₂+t₃+…+t₆=$\frac{π（6l-15{l}_{0}）}{v}$=$\frac{3.14×（6-15×0.12）}{2}$s=6.594s．
答：（1）當繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間，繩子拉力大小的比值為0.88；
（2）小球經(jīng)過6個半圓運動后繩子會被拉斷；
（3）小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時間為6.594s．

點評 本題是物理數(shù)列類型，結合圓周運動向心力的來源，通過數(shù)學知識求出拉力和時間的通項表達式是解決本題的關鍵．