Question

19．如圖所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質(zhì)彈簧被a、b兩小球擠壓，處于靜止?fàn)顟B(tài)．同時(shí)釋放兩個(gè)小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點(diǎn)A，b球恰好能到達(dá)斜軌道的最高點(diǎn)B．已知a球質(zhì)量為m₁，b球質(zhì)量為m₂，重力加速度為g．求：
（1）a球離開彈簧時(shí)的速度大小v_a；
（2）b球離開彈簧時(shí)的速度大小v_b；
（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球能通過最高點(diǎn)，則重力充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出小球在A點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒可得出小球釋放時(shí)的速度；
（2）對b球由機(jī)械能守恒可得出小球b的速度；
（3）對系統(tǒng)由動量守恒可求得兩小球的質(zhì)量關(guān)系，則由機(jī)械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）a球過圓軌道最高點(diǎn)A時(shí)mg=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
求出v_A=$\sqrt{gR}$
a球從C運(yùn)動到A，由機(jī)械能守恒定律$\frac{1}{2}$mv_C2=$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR
由以上兩式求出v_c=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
（2）b球從D運(yùn)動到B，由機(jī)械能守恒定律$\frac{1}{2}$m_bv_D²=m_bg×10R
求出v_b=v_D=2$\sqrt{5gR}$
（3）以a球、b球?yàn)檠芯繉ο螅�由動量守恒定律mv_a=m_bv_b
求出m_b=$\frac{1}{2}$m
彈簧的彈性勢能 E_p=$\frac{1}{2}$mv_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²
求出 E_ρ=7.5mgR
答：（1）a的速度為v_a為$\sqrt{5gR}$；
（2）b的速度為2$\sqrt{5gR}$；
（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能7.5mgR．

點(diǎn)評 本題為動量守恒及機(jī)械能守恒相結(jié)合的題目，注意只有彈簧彈開的過程中動量才是守恒的，才能列出動量守恒的表達(dá)式，此后兩小球不再有關(guān)系．