Question

19．如圖所示，一足夠長的木板，上表面與木塊之間的動摩擦因數(shù)為$μ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度為g，木板與水平面成θ角，讓小木塊從木板的底端以大小恒定的初速率v₀沿木板向上運動．隨著θ的改變，小木塊沿木板向上滑行的距離x將發(fā)生變化，當θ角為何值時，小木塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律得出速度的表達式，然后根據(jù)位移公式得到上滑距離S的表達式，結(jié)合數(shù)學知識求S的極值．

解答 解：當θ變化時，則有：mgsinθ+μmgcosθ=ma
木塊的位移S為：v₀²=2as
$s=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}{\;}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令：tanα=μ
當θ+α=90°時，S最小，此時有：θ=60°
故有：S_min=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}$=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$
答：當θ=60°時，小物塊沿木板上滑的距離最小，此最小值為$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．

點評 求加速度和位移是物理學中的常規(guī)問題，關(guān)鍵是由數(shù)學三角函數(shù)知識求極值，要重視數(shù)學方法在物理中的應(yīng)用．