Question

5．一個飛行器在萬有引力的作用下貼近某行星表面附近飛行，其線速度大小為v，運動的周期為T，已知萬有引力常量為G，則可得（　　）

• A． 該行星的平均密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• B． 該行星的半徑為$\frac{vT}{2π}$
• C． 該行星表面的重力加速度為$\frac{2πv}{T}$
• D． 無法得出該行星的質(zhì)量

Answer 1

分析 研究飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，根據(jù)根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出行星的質(zhì)量．飛船的質(zhì)量無法求出，飛船是環(huán)繞天體，根據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$可以求出密度．

解答 解：宇宙飛船的線速度$v=\frac{2πR}{T}$，行星半徑R=$\frac{vT}{2π}$．
設(shè)行星質(zhì)量為M，行星的半徑為R，飛船的質(zhì)量為m，根據(jù)題意宇宙飛船在一個不知名的行星表面附近的圓形軌道飛行，軌道半徑r等于行星的半徑R
根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}^{3}T}{2πG}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故可以求出該行星的平均密度；
又：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，所以：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$=$\frac{2πv}{T}$．由以上方向可知，ABC正確．
故選：ABC

點評 本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．在行星表面運動，軌道半徑可以認為就是行星的半徑．