Question

2．如圖，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的四分之一圓弧，與粗糙水平面BC相切．將質(zhì)量m=0.5kg的滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點(diǎn)滑行L=18m后到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度v₁=8m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.5，再使滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，到達(dá)C點(diǎn)的速度為v₂=4$\sqrt{2}$m/s，g取10m/s²．
（1）求圓弧的半徑R；
（2）求MN段的長(zhǎng)度x；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長(zhǎng)度不變，鐵刷劃擦的MN段的位置可設(shè)定，求滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C的最短時(shí)間是多少．

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理可求得滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度．對(duì)滑塊由A到B，由動(dòng)能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動(dòng)能定理列式，可求得MN段的長(zhǎng)度x．
（3）作出v-t圖象如圖，分析知道當(dāng)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．由運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移公式研究MN段，得到此過(guò)程滑塊到M點(diǎn)的速度．再速度時(shí)間公式求滑行的最短時(shí)間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為：v_B=10m/s
滑塊由A到B，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：R=5m
（2）滑塊從第二次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mg（L-x）-μ₂mgx=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：x=4m 
（3）由第（2）問(wèn)可知，無(wú)論MN在AB中的具體位置如何變化，滑塊到C點(diǎn)的速度都不變，作出v-t圖象如圖，可知當(dāng)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
設(shè)滑塊在BM段和MN段的加速度分別為a₁和a₂，由牛頓第二定律得，f=ma，代入數(shù)據(jù)，解得：a₁=1m/s²，
同理得：a₂=5m/s²
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${v}_{2}^{2}-{v}_{M}^{2}$=-2a₂x   
代入數(shù)據(jù)得：v_M=6$\sqrt{2}$m/s
所以，滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C的最短時(shí)間是：t_min=$\frac{{v}_{B}-{v}_{M}}{{a}_{1}}$+$\frac{{v}_{M}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$
解得：t_min=2.1s
答：（1）圓弧的半徑R是5m；
（2）MN段的長(zhǎng)度x是4m；
（3）滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C的最短時(shí)間是2.1s．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及力在空間的效應(yīng)，運(yùn)用動(dòng)能定理是常用的思路，要反復(fù)運(yùn)用動(dòng)能定理列式解答，列式時(shí)要抓住各個(gè)過(guò)程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系．