Question

8．如圖所示，一根長為L=0.2m的剛性輕繩，一端固定在O點，另一端連接一個質量為m的小球，當球自由懸掛時，球處在最低點A點，此時給球一個水平初速度v₀讓它運動起來，忽略空氣阻力，重力加速度g=10m/s²
（1）要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，求v₀滿足的條件；
（2）若小球在A點獲得的水平初速度v₀=$\sqrt{7}$m/s，試確定小球能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，小球應做完整的圓周運動或在圓心下方運動．小球恰好能通過最高點時，向心力等于小球的重力，由此列式求最高點的最小值；恰好到達與圓心O等高位置時速度為零，再由機械能守恒定律求v₀滿足的條件．
（2）將v₀=$\sqrt{7}$m/s與上述條件比較，分析小球的運動情況，再機械能守恒定律可以求出小球達到的最大高度．

解答 解：（1）小球在運動過程中繩子始終不松弛，有兩種情況：
第一情況：小球做完整的圓周運動，設小球通過最高點的最小速度為v．
則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
從最低點到最高點的過程，由機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得  v₀=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以，要使小球做完整的圓周運動，必須滿足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s．
第二情況：小球在圓心下方運動，上升的最高點與圓心O等高，則由機械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgL，解得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在這種情況下，繩子始終不松弛，v₀滿足的條件是：0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
綜上，v₀滿足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
（2）當v₀=$\sqrt{7}$m/s時，與上述條件對比可知，小球上升到圓周運動的最高點前離開圓軌道，設小球能上升的最大高度為h，此時小球的速度為v₁．繩子與豎直方向的夾角為α．
則有 mgcosα=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
根據(jù)機械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgL（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
由幾何關系得 h=L（1+cosα）
聯(lián)立解得 h=0.3m
答：
（1）要保證小球在運動過程中繩子始終不松弛，v₀滿足的條件是v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s；
（2）若小球在A點獲得的水平初速度v₀=$\sqrt{7}$m/s，小球能上升的最大高度是0.3m．

點評 解決本題的關鍵要掌握圓周運動的臨界條件：在最高點時，最小向心力等于重力．繩子剛松馳時，繩子的拉力為零，由重力指向圓心的分力提供向心力．要熟練應用向心力公式、機械能守恒定律即可正確解題．