Question

18．兩根足夠長且平行的光滑金屬導軌M、N水平固定放置，電阻忽略不計，兩導軌左端連接有一阻值為R的電阻，導軌間存在豎直向上的勻強磁場，將一質量為m的導體棒ab放置在兩導軌上，并始終保持與導軌垂直接觸，導體棒接入導軌間部分的電阻值為r，現出現與導體棒施加一大小恒為F的水平向右拉力，使之從靜止開始運動，如圖所示，在導體棒ab運動了x的距離時，測得其速度為v，重力加速度為g，試求：
（1）導體棒ab運動時通過棒上的感應電流方向；
（2）在移動距離x的過程中，導體棒克服安培力所做的功W及棒中所產生的焦耳熱Q₁；
（3）若此后導體棒運動能達到的最大速度為v_m，則在移動上述距離x的過程中，通過電路的電量q為多少？

Answer 1

分析 （1）應用右手定則判斷出感應電流方向．
（2）應用動能定理可以求出導體棒克服安培力做功，導體棒克服安培力做功轉化為焦耳熱，應用串聯電路特點求出棒中所產生的焦耳熱．
（3）應用E=BLv求出速度最大時的感應電動勢，應用歐姆定律求出此時的感應電流，應用安培力公式求出此時的安培力，應用平衡條件求出BL，然后應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律與電流定義式的變形公式求出電荷量．

解答 解：（1）由右手定則可知，通過棒上感應電流的方向由b流向a；
（2）對導體棒，由動能定理得：Fx-W=$\frac{1}{2}$mv²-0，
克服安培力做功為：W=Fx-$\frac{1}{2}$mv²，
整個電路產生的焦耳熱我：Q=W=Fx-$\frac{1}{2}$mv²，
棒中產生的焦耳熱我：Q₁=$\frac{r}{R+r}$Q=$\frac{r}{R+r}$（Fx-$\frac{1}{2}$mv²）；
（3）導體棒速度最大時，感應電動勢為：E_m=BLv_m，
感應電流我：I=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$=$\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$
安培力為：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
由平衡條件得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
則有：BL=$\sqrt{\frac{F（R+r）}{{v}_{m}}}$，
通過電路的電荷量為：q=I△t=$\frac{E}{R+r}$△t=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$=$\frac{x}{R+r}$$\sqrt{\frac{F（R+r）}{{v}_{m}}}$；
答：（1）導體棒ab運動時通過棒上的感應電流方向：由b流向a；
（2）在移動距離x的過程中，導體棒克服安培力所做的功W為：Fx-$\frac{1}{2}$mv²，棒中所產生的焦耳熱Q₁為：$\frac{r}{R+r}$（Fx-$\frac{1}{2}$mv²）；
（3）若此后導體棒運動能達到的最大速度為v_m，則在移動上述距離x的過程中，通過電路的電量q為$\frac{x}{R+r}$$\sqrt{\frac{F（R+r）}{{v}_{m}}}$．

點評 導體棒先做加速度減小的加速運動然后做勻速直線運動，分析清楚導體棒的運動過程是解題的前提與關鍵；應用右手定則、動能定理、與平衡條件、法拉第電磁感應定律、歐姆定律與電流定義式即可解題；可以應用經驗公式q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$求電荷量．