Question

10．如圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口C處的切線沿水平方向，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度v₁；
（2）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口的過(guò)程中，彈簧的彈力做的功W_F；
（3）已知地面與水平相距1.5R，若彈射處的魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m，則魚餌到達(dá)水面時(shí)的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢(shì)能等于魚餌增加的機(jī)械能，而彈簧的彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢(shì)能．
（3）魚餌從彈出到落到水平面上的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，完全由重力提供，
則$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有
${E}_{P}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=3mgR
彈簧的彈力做的功W_F=E_P=3mgR
（3）魚餌從彈出到落到水平面上的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}m{v}^{2}=\frac{2}{3}m（0.5+1.5）gR+{W}_{F}$
解得：v=$\sqrt{13gR}$
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度v₁為$\sqrt{gR}$；
（2）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口的過(guò)程中，彈簧的彈力做的功W_F為3mgR；
（3）已知地面與水平相距1.5R，若彈射處的魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m，則魚餌到達(dá)水面時(shí)的速度大小為$\sqrt{13gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程、動(dòng)能定理以及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，知道彈簧的彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢(shì)能，難度適中．