Question

13．如圖所示，在水平軌道豎直安放一個(gè)與水平面夾角為θ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀，以v₀逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶和一半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)；水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．小物塊A輕放（初速為0）在傳送帶頂端，通過(guò)傳送帶、水平軌道、圓形軌道、水平軌道后與彈簧接觸，之后A壓縮彈簧并被彈簧彈回（彈回速度為剛與彈簧接觸時(shí)速度的一半），經(jīng)水平軌道返回圓形軌道，物塊A可視為質(zhì)點(diǎn)．已知R=0.2m，θ=37°，L₀=1.8m，L=1.0m，v₀=6m/s，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與輪帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.5，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)，物塊從傳送帶滑到水平軌道時(shí)機(jī)械能不損失．取g=10m/s²．求：
（1）物塊A滑到輪帶底端時(shí)速度的大�。�
（2）物塊A剛與彈簧接觸時(shí)速度大�。�
（3）物塊A返回到圓形軌道的高度；
（4）若僅調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，當(dāng)L滿足什么條件時(shí)，A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道？

Answer 1

分析 （1）以物塊在傳送帶上為研究對(duì)象，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析求解．（2）據(jù)動(dòng)能定理求解即可．（3）據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理求解圓形軌道的高度．（4）以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程為研究對(duì)象，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律把到達(dá)圓形軌道的速度求出，再據(jù)機(jī)械能和高度的條件列式求解．

解答 解：（1）物塊A在傳送帶上受重力和摩擦力的作用做加速運(yùn)動(dòng)，求得：a=g
據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v²=2as求得：v=v₀=6m/s
（2）以此過(guò)程為研究對(duì)象，動(dòng)能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上代入數(shù)據(jù)解得：物塊A速度大小v₁=$4\sqrt{2}$m/s
（3）A反彈速度v₂=$\frac{1}{2}{v}_{1}$=$2\sqrt{2}$m/s
A向右經(jīng)過(guò)PQ段，由${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$=-2μgl
代入數(shù)據(jù)解得速度：v₃=2m/s               
A滑上圓形軌道，由動(dòng)能定理得：-2mgh=0-$\frac{1}{2}×2m{v}_{3}^{2}$
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，h≤R符合實(shí)際．
（4）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)，
據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=-2μgl
                 ${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$=-2μgl
聯(lián)立可得，A回到右側(cè)速度${v}_{3}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4}-\frac{5}{2}μgl$=（9-5l）（m/s）²
要使A能返回右側(cè)軌道且能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，有兩種情況：
①A沿軌道上滑至最大高度h時(shí)，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R
又$\frac{1}{2}×2m{v}_{3}^{2}$=2mgh 
聯(lián)立可得，1m≤l＜1.8m
②②若A、B整體能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則滿足 $\frac{1}{2}$×2m${v}_{3}^{′2}$=2mg×2R+$\frac{1}{2}$×2m${v}_{4}^{′2}$
且2m$\frac{{v}_{4}^{′2}}{R}$≥2mg
聯(lián)立得 l≤-0.2m，不符合實(shí)際，即不可能沿軌道上滑至最高點(diǎn)
綜上所述，要使A物塊能返回圓形軌道并沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，L滿足的條件
是1m≤l＜1.8m．
答：
（1）物塊A滑到輪帶底端時(shí)速度的大小6m/s；
（2）物塊A剛與彈簧接觸時(shí)速度大小4$\sqrt{2}$m/s；
（3）物塊A返回到圓形軌道的高度0.2m；
（4）若僅調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，當(dāng)L滿足1m≤l＜1.8m時(shí)，A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道．

點(diǎn)評(píng) 此題難度較大，牽涉的運(yùn)動(dòng)模型較多，物體情境復(fù)雜，關(guān)鍵是按照運(yùn)動(dòng)的過(guò)程逐步分析求解，注意各子過(guò)程之間的銜接的物理量，特別是求4問(wèn)時(shí)，一定全過(guò)程利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律把l求出來(lái)，據(jù)此再分析．