Question

11．為紀念“光纖之父”、諾貝爾物理學獎獲得者高錕的杰出貢獻，早在1996年中國科學院紫金山天 文臺就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，在不考慮自轉(zhuǎn)的情況，求解以下問題：（以下結(jié)果均用字母表達即可）
（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度；
（2）假設“高錕星”為一均勻球體，試求“高錕星”的平均密度；（球體積V=$\frac{4}{3}$πR³）
（3）假設某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運動且運行周期為T，求該衛(wèi)星距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是近地飛行的衛(wèi)星的運行速度，根據(jù)萬有引力提供回擊運動向心力和星球表面重力萬有引力相等求得星球的第一宇宙速度；
（2）根據(jù)重力與萬有引力相等求得“高錕星”的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得該星的密度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力由衛(wèi)星運行的周期和星球的質(zhì)量求得衛(wèi)星距該星表面的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度時近地衛(wèi)星的運行速度，滿足萬有引力提供圓周運動向心力，而在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度為：${v}_{1}=\sqrt{gR}$；
（2）根據(jù)星球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得高錕星的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)密度公式有，該星的平均速度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）設高錕星質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑r，
根據(jù)題意有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$  
由（2）得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以可得衛(wèi)星的軌道半徑為：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以衛(wèi)星距地面高度為：h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（2）假設“高錕星”為一均勻球體，“高錕星”的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）假設某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運動且運行周期為T，該衛(wèi)星距地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點評 解決天體問題的兩個主要入手點：一是星球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體的向心力．