Question

10．在平面xOy中存在如圖所示的磁場，在MON區(qū)域的勻強(qiáng)磁場為B₁，在x軸下方如圖矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場為B₂．磁場的上邊界與x軸重合，一個帶電量為q的微粒質(zhì)量為m．從y軸上的A點(diǎn)以速度V₀水平方向出發(fā)，剛好垂直經(jīng)過OM邊上．后經(jīng)過無場區(qū)又進(jìn)入磁場，最后又回到A點(diǎn)．已知m=1.6×10^-9kg，q=1×10^-8C，θ=45°，V₀=10m/s，OA=0.5m．不計重力．
（1）求MON的區(qū)域的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為多少？
（2）求x軸下方的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為多少？磁場B₂的面積至少為多少？
（3）求粒子從A點(diǎn)開始到回到A點(diǎn)所用時間？（以上結(jié)果均保留二位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，從A點(diǎn)水平射出的粒子恰好垂直打在ON上，由可以確定粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑與OA長相等．再由洛侖茲力提供向心力，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（2）要使粒子能夠回到A點(diǎn)，由對稱性畫出粒子在空間的運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子在B₂中做勻速圓周運(yùn)動的半徑，由于粒子進(jìn)入x軸下方做勻速圓周運(yùn)動，再由幾何關(guān)系求出B₂的最小面積．
（3）由運(yùn)動學(xué)公式，分別求出粒子在磁場B1和B2的運(yùn)動時間，以及做勻速直線運(yùn)動的時間，三者相加就是粒子在磁場中的時間．

解答 解：（1）由幾何關(guān)系可知：R=OA=0.5m
洛侖茲力提供向心力：B₁qv₀=$\frac{{{m}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=3.2T
（2）畫出粒子在該空間運(yùn)動的軌跡如圖所示（磁場B2是在x軸下方存在的，圖中未畫出），
由幾何關(guān)系可知：rcosθ=$\frac{R}{cosθ}$      r=1m
洛侖茲力提供向心力：B₂qv₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$=1.6T
由幾何關(guān)系可知：S=2r×（r+rcosθ）
解得：S=3.4m²   或S=3.5m²
（3）由周期公式：T₁=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$，則運(yùn)動時間t₁=$\frac{1}{4}{T}_{1}$=$\frac{π}{40}$s
同理：T₂=$\frac{2πm}{{B}_{2}q}$ 
由幾何關(guān)系可知：t₂=$\frac{2R}{{v}_{0}}=\frac{1}{10}s$
 t₃=$\frac{3}{4}{T}_{2}$=$\frac{3π}{20}$
解得：t=t₁+t₂+t₃=0.65s或t=0.65n  s   （n=1，2，3…）
答：（1）MON的區(qū)域的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為3.2T．
（2）x軸下方的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為1.6T，磁場B₂的面積至少為3.5m²．
（3）求粒子從A點(diǎn)開始到回到A點(diǎn)所用時間為0.65s．

點(diǎn)評 本題涉及的物理過程明顯：先做勻速圓周運(yùn)動垂直穿出磁場B₁，再做直線運(yùn)動進(jìn)入磁場B₂…，最后回到A點(diǎn)．要注意的是三個階段的中間狀態(tài)，涉及兩次做勻速圓周運(yùn)動的半徑關(guān)系，再就是磁場B₂的最小面積應(yīng)恰好包圍在B₂中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡．