Question

2．如圖所示，第二、三象限存在足夠大的勻強電場，電場強度為E，方向平行于紙面向上，一個質量為m，電量為q的正粒子，在x軸上M點（-4r，0）處以某一水平速度釋放，粒子經(jīng)過y軸上N點（0，2r）進入第一象限，第一象限存在一個足夠大的勻強磁場，其磁感應強度B=$\sqrt{\frac{Em}{rq}}$的勻強磁場，方向如圖所示，不計粒子重力，試求：
（1）粒子初速度v₀；
（2）粒子第一次穿過x軸時的速度；
（3）求粒子第n次穿過x軸時的位置坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子在豎直向上的勻強電場中做類平拋運動，已知水平位移和豎直位移和電場強度大小，由類平拋運動的規(guī)律求出初速度大�。�
（2）由類平拋運動運動規(guī)律求出粒子射出電場時的速度大小和方向，在磁場時粒子做勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力可求得半徑大小，將已知條件代入得到半徑與題設已知的關系．再由幾何關系就能得出粒子第一次穿過x軸時的速度大小和方向．
（3）由第（2）的結論可知，以后粒子只要穿過x軸，則速度方向均與x軸垂直，畫出其運動軌跡，則由周期性規(guī)律，就能求出位置坐標x．

解答 解：（1）粒子在電場中從M到N點，做類平拋運動，則
x方向：4r=v_ot
y方向：2r=$\frac{1}{2}$at² 
 而qE=ma
聯(lián)立可得：v₀=2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$
（2）結合x方向：4r=v_ot，y方向：2r=$\frac{1}{2}{v}_{y}t$    則
v₀=v_y，粒子射出電場時  v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=2$\sqrt{\frac{2Eqr}{m}}$方向與水平方向成45°斜向上．
粒子在磁場中運動半徑R=$\frac{mv}{qB}$=2$\sqrt{2}$r，由幾何關系可知，粒子第一次穿
過x軸時速度    v=2$\sqrt{\frac{2Eqr}{m}}$，方向垂直x軸向下．
（3）粒子軌跡如圖所示，分析軌跡可知，粒子第N次穿過x軸時的位置坐標為（x，0），則
 x_N=2r+2$\sqrt{2}$r+4（n-1）$\sqrt{2}$r=2r+2$\sqrt{2}$r（2n-1）（n=1，2，3…）
答：（1）粒子初速度v₀；為2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$．
（2）粒子第一次穿過x軸時的速度；大小為2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$，方向垂直x軸向下．
（3）粒子第n次穿過x軸時的位置坐標  x_N=2r+2$\sqrt{2}$r（2n-1）（n=1，2，3…）

點評 本題是帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中運動的特例，要注意以下幾點：①在電場中做類平拋運動，已知水平位移和豎直位移及加速度就能求出初速度．②進入磁場后做勻速圓周運動，進入之前必須求出速度方向，由速度方向、位置坐標、和半徑大小，確定圓心位置從而確定粒子經(jīng)過x軸時的速度大小和方向．③在方向相反的磁場中做勻速圓周運動，由左手定則確定軌跡具有周期性的變化規(guī)律．