Question

10．如圖所示，細繩一端系著質量M=8kg的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊質量m=2kg的物體，M的中點與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為16N．現使此平面繞中心軸線轉動，問角速度ω在什么范圍m會處于靜止狀態(tài)？（g取10m/s²，答案化簡到最簡形式，可不開根號）

Answer 1

分析 當此平面繞中心軸線以角速度ω轉動時，若M恰好要向里滑動時，ω取得最小值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動時，ω取得最大值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．根據牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：設此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得：
T-f_max=$Mr{{ω}_{1}}^{2}$，
又T=mg，f_max=16N，
解得：${ω}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s$．
設此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得：
T+f_max=$Mr{{ω}_{2}}^{2}$，
又T=mg
代入解得：ω₂=$\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$
則ω的范圍為$\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s≤ω≤\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$
答：角速度ω在$\frac{\sqrt{10}}{2}rad/s≤ω≤\frac{3\sqrt{10}}{2}rad/s$范圍m會處于靜止狀態(tài)．

點評 本題是圓周運動中臨界問題，抓住當M恰好相對此平面滑動時靜摩擦力達到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．