Question

12．如圖所示，在無窮大的光滑水平面上有兩個(gè)物塊A、B，質(zhì)量分別為M、m（M＞m），物塊A右端拴接輕彈簧l．現(xiàn)用物塊B將固定在墻壁上的彈簧2緩慢壓縮，當(dāng)彈簧2的彈性勢(shì)能為E時(shí)，釋放物塊B．物塊B被彈簧2彈開后，碰到彈簧l（不粘連），由于M比m大，物塊B被反彈，并將在兩彈簧之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)．則從釋放物塊B開始，在以后整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求：

（1）彈簧l所能獲得的最大彈性勢(shì)能；
（2）若已知M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中彈簧l對(duì)物塊A的總沖量的最大值．
（3）若已知M=5m，求A、B最后的運(yùn)動(dòng)速度．

Answer 1

分析 （1）物體A、B第一次碰撞時(shí)，當(dāng)速度相同時(shí)，彈簧壓縮的最短，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，經(jīng)過n次碰撞后，兩物體速度近似相等，彈簧l對(duì)物塊A的總沖量達(dá)到最大值，根據(jù)動(dòng)量定理和能量守恒定律列式求解；
（3）第一次碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；第二次碰撞過程同樣根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；通過計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)第二次碰撞后B的速度開始小于A的速度．

解答 解：（1）物體A、B第一次碰撞時(shí)，當(dāng)速度相同時(shí)，彈簧壓縮的最短，彈性勢(shì)能最大；
對(duì)B滑塊，根據(jù)能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有：
mv=（M+m）v′
根據(jù)能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+{E}_{p}$
聯(lián)立解得：
E_p=$\frac{M}{M+m}E$
（2）M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，經(jīng)過多次碰撞后，兩個(gè)物體速度相同，根據(jù)能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}$
由于M＞＞m，故：
${v}_{1}=\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$
根據(jù)動(dòng)量定理，彈簧l對(duì)物塊A的總沖量的最大值為：
I=Mv₁=M$\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$；
（3）已知M=5m，B與A碰撞前，有：
E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
物體A、B第一次碰撞后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，有：
mv=Mv₁+mv₂
E=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
其中：M=5m
聯(lián)立解得：
${v}_{1}=\frac{1}{3}v$=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
v₂=-$\frac{2}{3}v$=-$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
（另一組解是碰撞后兩個(gè)球的速度均不變，不合實(shí)際，舍去）
物體A、B第一次碰撞后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，有：
Mv₁-mv₂=Mv₃+mv₄
E=$\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
聯(lián)立解得：
v₃=$\frac{4}{9}v$=$\frac{4}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$
${v}_{4}=-\frac{1}{9}v$=-$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$
（另一組解是碰撞后兩個(gè)球的速度均不變，不合實(shí)際，舍去）
故此后B反彈后不會(huì)在追上A；
答：（1）彈簧l所能獲得的最大彈性勢(shì)能為$\frac{M}{M+m}E$；
（2）若已知M遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中彈簧l對(duì)物塊A的總沖量的最大值為M$\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$；
（3）若已知M=5m，A、B最后的運(yùn)動(dòng)速度分別為$\frac{4}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$、$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)量與能量綜合的問題，關(guān)鍵是明確碰撞過程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，同時(shí)結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式分析；第三問要對(duì)每次碰撞過程討論，直到不能碰撞為止．