Question

15．滑板運(yùn)動(dòng)是一種陸地上的“沖浪運(yùn)動(dòng)”，滑板運(yùn)動(dòng)員可在不同的軌道上滑行并做出各種高難度運(yùn)動(dòng)，給人以美的享受，如圖所示是模擬的滑板滑行軌道，該軌道由足夠長的斜直軌道、半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=1.6m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中AB與水平方向夾角θ=37°，C點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，D點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心O₂點(diǎn)與C點(diǎn)處在同一水平面上，一質(zhì)量為m=1kg可看作質(zhì)點(diǎn)的滑板，從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速滑下，經(jīng)過C點(diǎn)滑向D點(diǎn)，P點(diǎn)距B點(diǎn)所在水平面的高度h=1.8m，不計(jì)一切阻力，g取10m/s²．

（1）滑板滑到B點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（2）滑板滑到C點(diǎn)時(shí)滑板對(duì)軌道壓力的大�。�
（3）若滑板滑到D點(diǎn)時(shí)恰做平拋運(yùn)動(dòng)，則從P點(diǎn)須以多大初速度開始下滑？

Answer 1

分析 （1）從P到B滑動(dòng)過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒求得速度；
（2）從B到C根據(jù)動(dòng)能定理求得到達(dá)C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律求得作用力；
（3）從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)重力提供向心力，求得D點(diǎn)的速度，整個(gè)過程中利用動(dòng)能定理求得P點(diǎn)的速度

解答 解：（1）滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒可知$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，解得v_B=6m/s
（2）滑塊從B到C的過程中$mg（{R}_{1}-{R}_{1}cosθ）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
滑塊在C點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可知$F-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{{R}_{1}}$
聯(lián)立解得F=50N，由牛頓第三定律可知對(duì)軌道的壓力大小為50N
（3）滑塊滑到D點(diǎn)時(shí)恰做平拋運(yùn)動(dòng)，有$mg=\frac{{mv}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$，滑板從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可知$mg[h+{R}_{1}（1-cosθ）-{R}_{2}]=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}=2\sqrt{2}m/s$
答：（1）滑板滑到B點(diǎn)時(shí)的速度為6m/s
（2）滑板滑到C點(diǎn)時(shí)滑板對(duì)軌道壓力的大小為50N；
（3）若滑板滑到D點(diǎn)時(shí)恰做平拋運(yùn)動(dòng)，則從P點(diǎn)須以$2\sqrt{2}$m/s初速度開始下滑

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源：指向圓心的合力．對(duì)于軌道光滑的情況，要想到機(jī)械能守恒定律