Question

15．滑板運動是一種陸地上的“沖浪運動”，滑板運動員可在不同的軌道上滑行并做出各種高難度運動，給人以美的享受，如圖所示是模擬的滑板滑行軌道，該軌道由足夠長的斜直軌道、半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=1.6m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內且依次平滑連接，其中AB與水平方向夾角θ=37°，C點為凹形圓弧軌道的最低點，D點為凸形圓弧軌道的最高點，凸形圓弧軌道的圓心O₂點與C點處在同一水平面上，一質量為m=1kg可看作質點的滑板，從斜直軌道上的P點無初速滑下，經過C點滑向D點，P點距B點所在水平面的高度h=1.8m，不計一切阻力，g取10m/s²．

（1）滑板滑到B點時的速度多大？
（2）滑板滑到C點時滑板對軌道壓力的大��；
（3）若滑板滑到D點時恰做平拋運動，則從P點須以多大初速度開始下滑？

Answer 1

分析 （1）從P到B滑動過程中，只有重力做功，根據機械能守恒求得速度；
（2）從B到C根據動能定理求得到達C點的速度，在C點根據牛頓第二定律求得作用力；
（3）從D點做平拋運動，在D點重力提供向心力，求得D點的速度，整個過程中利用動能定理求得P點的速度

解答 解：（1）滑塊從P點運動到B點的過程中，根據機械能守恒可知$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，解得v_B=6m/s
（2）滑塊從B到C的過程中$mg（{R}_{1}-{R}_{1}cosθ）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
滑塊在C點根據牛頓第二定律可知$F-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{{R}_{1}}$
聯(lián)立解得F=50N，由牛頓第三定律可知對軌道的壓力大小為50N
（3）滑塊滑到D點時恰做平拋運動，有$mg=\frac{{mv}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$，滑板從P點運動至D點，根據動能定理可知$mg[h+{R}_{1}（1-cosθ）-{R}_{2}]=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}=2\sqrt{2}m/s$
答：（1）滑板滑到B點時的速度為6m/s
（2）滑板滑到C點時滑板對軌道壓力的大小為50N；
（3）若滑板滑到D點時恰做平拋運動，則從P點須以$2\sqrt{2}$m/s初速度開始下滑

點評 本題的關鍵要明確圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．對于軌道光滑的情況，要想到機械能守恒定律