Question

13．如圖所示，位于豎直平面上的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質量為m的小球從A點由靜止釋放，最后落在水平地面上C點處，不計空氣阻力，求：
（1）小球運動到軌道上的B點時，對軌道的壓力多大？
（2）小球落地點C與B點水平距離s是多少？
（3）要使s達到最大值，則H和R間的關系如何？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點拋出后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移公式求解；
（3）利用數(shù)學知識分析水平位移的表達式即可求解．

解答 解：（1）小球由A→B過程中，根據(jù)機械能守恒定律，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$
小球在B點，根據(jù)牛頓第二定律，有：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
F_N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力為3mg；
（2）小球由B→C過程，
水平方向有：s=v_B•t
豎直方向有：H-R=$\frac{1}{2}$gt²
解得s=2$\sqrt{（H-R）R}$
（3）水平距離：s=2$\sqrt{（H-R）R}$=$\sqrt{-（R-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$
所以，當R=$\frac{H}{2}$時，s最大
答：（1）小球運動到軌道上的B點時，求小球對軌道的壓力為3mg；
（2）小球落地點C與B點水平距離s是2$\sqrt{（H-R）R}$；
（3）若軌道半徑可以改變，則R=$\frac{H}{2}$時小球落地的水平距離s最大．

點評 本題關鍵對兩個的運動過程分析清楚，然后選擇機械能守恒定律和平拋運動規(guī)律列式求解．