Question

2．一質(zhì)量為m=2kg的小滑塊，從傾角為37°的光滑斜面上的A點由靜止滑下，斜面在B處與一水平傳送帶平滑連接，傳送帶左端C與一豎直光滑半圓弧平滑連接，已知斜面AB長0.75m，圓弧軌道半徑為0.15m，D為圓弧上與圓心等高的點，E為圓弧軌道最高點，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，重力加速度g取10m/s²．
（1）當(dāng)傳送帶靜止時，滑塊恰好能滑到D點，求B，C兩點間的距離；
（2）若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，從A點以一定初速度下滑的小滑塊恰好能通過最高點E，求小滑塊的初速度大��；
（3）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，從A點由靜止釋放的小滑塊能通過最高點E，求傳送帶的最小速度及此過程小滑塊B到C的時間．

Answer 1

分析 （1）整個過程中能量守恒，求出初始和末勢能后作差，即為摩擦力在BC上做的負功，可得BC距離；
（2）若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，摩擦力始終水平向右，做負功，根據(jù)能量守恒可求初動能，進而求出初速度；
（3）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，且速度較小時，摩擦力水平向右，運動過程是先減速，減速到和傳送帶速度相同時，勻速運動；
用臨界分析法，假設(shè)物塊剛好能通過E點，求出通過C點時的速度，即為傳送帶的最小速度；
物塊從B到C的過程，分段分別求出勻減速運動時間和勻速時間求和即得答案．

解答 解：（1）設(shè)BC間距離為s，BC間物塊所受摩擦力大小為：f=μmg=0.3×2×10=6N；
當(dāng)傳送帶靜止時，摩擦力做負功，大小為：W_BC=fs
以BC面為零勢能面，則初始勢能為：E_p0=mgl_ABsin37°=2×10×0.75×0.6=9J
末勢能：E_p1=mgh_D=2×10×0.15=3J
整個過程中能量守恒，則：E_p0=E_p1+W_BC
代入數(shù)據(jù)解得：s=1m；
（2）設(shè)初速度為v，則初始動能為：E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
初始勢能仍為E_p0
BC段摩擦力做負功，大小仍為W_BC
末勢能為：E_p2=mg2R=2×10×2×0.15=6J
整個過程中能量守恒得：E_K+E_p0=W_BC+E_p2
代入數(shù)據(jù)得，小滑塊的初速度：v=$\sqrt{3}$m/s；
（3）假設(shè)剛好能通過E點，設(shè)通過C點的速度即傳送帶的最小速度為v′，
則$\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$=E_P2
而m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}=mg$
代入數(shù)據(jù)得傳送帶的最小速度：v′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s
由從靜止釋放物塊，得通過B的速度v″滿足：$\frac{1}{2}mv{″}^{2}=mg{l}_{AB}•sinθ$
代入數(shù)據(jù)解得：v″=3m/s
根據(jù)牛頓第二定律，得勻減速過程加速度為：a=$\frac{f}{m}=\frac{6}{2}=3m/{s}^{2}$
由速度時間公式得，勻減速過程用時：$t′=\frac{v′-v″}{-a}$=$\frac{3-\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}$==1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（s）
位移為：${s}_{1}=\frac{v{′}^{2}-v{″}^{2}}{-2a}=0.5m$
由位移時間公式得，勻速過程所用時間：t″=$\frac{s-{s}_{1}}{v′}=\frac{1-0.5}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}（s）$
總用時：t₁=t′+t″，
代入數(shù)據(jù)得：t₁=1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{\sqrt{2}}{6}$=1$-\frac{\sqrt{2}}{3}$（s）
答：（1）B，C兩點間的距離為1m；
（2）小滑塊的初速度大小為$\sqrt{3}$m/s；
（3）傳送帶的最小速度為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s，此過程小滑塊B到C的時間為（1-$-\frac{\sqrt{2}}{3}$）s．

點評 本題主要考察摩擦力的方向和做功，用全過程能量守恒可以簡化思維過程和計算步驟．