Question

13．在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量為M的木塊，靜摩擦因數(shù)為μ，轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩一端系住木塊M，另一端通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)中心的小孔懸一質(zhì)量為m的木塊，如圖所示，求m與轉(zhuǎn)臺(tái)能保持相對(duì)靜止時(shí)，M到轉(zhuǎn)臺(tái)中心的最大距離R₁和最小距離R₂．

Answer 1

分析 質(zhì)量為M的物體靠繩子的拉力和靜摩擦力的合力提供向心力，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且指向圓心時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑最大，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力且方向背離圓心時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑最小，根據(jù)向心力公式列式即可求解．

解答 解：M在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平臺(tái)對(duì)M的支持力與Mg相平衡，拉力與平臺(tái)對(duì)M的摩擦力的合力提供向心力．
設(shè)M到轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離為R，M以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力為Mω²R，
若Mω²R=T=mg，此時(shí)平臺(tái)對(duì)M的摩擦力為零．
若R₁＞R，Mω²R₁＞mg，平臺(tái)對(duì)M的摩擦力方向向左，
由牛頓第二定律：
f+mg=Mω²R₁，當(dāng)f為最大值μMg時(shí)，R₁最大．
所以，M到轉(zhuǎn)臺(tái)的最大距離為：R₁=$\frac{（μMg+mg）}{{Mω}^{2}}$．
若R₂＜R，Mω²R₂＜mg，平臺(tái)對(duì)M的摩擦力水平向右，
由牛頓第二定律．
mg-f=Mω²R₂
f=μMg時(shí)，R₂最小，最小值為R₂=（mg-μMg）/Mω²．
答案：最大距離為R₁=（μMg+mg）/Mω²；最小距離
R₂=$\frac{mg-μMg}{{Mω}^{2}}$．
答：M到轉(zhuǎn)臺(tái)中心的最大距離是$\frac{（μMg+mg）}{{Mω}^{2}}$，最小距離是$\frac{mg-μMg}{{Mω}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題，抓住當(dāng)M恰好相對(duì)此平面滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求解半徑的取值范圍．