Question

12．如圖所示，有一水平桌面長(zhǎng)L，套上兩端開有小孔的外罩（外罩內(nèi)情況無(wú)法看見），桌面上沿中軸線有一段長(zhǎng)度未知的粗糙面，其它部分光滑，一小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以速度v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$從桌面的左端沿桌面中軸線方向滑入，小物塊與粗糙面的動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.5，小物體滑出后做平拋運(yùn)動(dòng)，桌面離地高度h以及水平飛行距離s均為$\frac{L}{2}$（重力加速度為g）求：
（1）未知粗糙面的長(zhǎng)度X為多少？
（2）若測(cè)得小物塊從進(jìn)入桌面到落地經(jīng)歷總時(shí)間為$\frac{5}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$，則粗糙面的前端離桌面最左端的距離？
（3）粗糙面放在何處，滑塊滑過(guò)桌面用時(shí)最短，該時(shí)間為多大？

Answer 1

分析 （1）小球飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列方程求解離開桌面時(shí)的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理列方程求解桌面的粗糙長(zhǎng)度；
（2）分階段根據(jù)運(yùn)動(dòng)形式采用不通規(guī)律求解各階段的時(shí)間，然后求出總時(shí)間；
（3）先確定出粗糙面的位置，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程求時(shí)間．

解答 解：（1）平拋運(yùn)動(dòng)：h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{L}{2}$
S=vt=$\frac{L}{2}$
牛頓第二定律：μmg=ma
水平方向直線運(yùn)動(dòng)：v²-v₀²=-2ax
解得：x=$\frac{L}{4}$         
（2）令粗糙面的前端離桌面最左端距離為d，已知x=$\frac{L}{4}$，且不管粗糙面放哪，末速度不變?yōu)関=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，但運(yùn)行時(shí)間不同．
勻速直線運(yùn)動(dòng) t₁=$\fracfzlifi8{{v}_{0}}$=$\frac{2d}{\sqrt{2gL}}$
勻減速直線運(yùn)動(dòng)t₂=$\frac{{v}_{0}-v}{μg}$=（$\sqrt{2}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
勻速直線運(yùn)動(dòng)₃=$\frac{L-d-\frac{L}{4}}{v}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$$-\frac{2d}{\sqrt{gL}}$
平拋運(yùn)動(dòng)：t₄=$\sqrt{\frac{L}{g}}$
由t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{5}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$，解得：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
（3）不管粗糙面放哪，末速度不變?yōu)関=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，由第（2）小題知：t₂不變，兩段勻速直線運(yùn)動(dòng)，總位移為3L/4，且v＜v₀，以速度v₀運(yùn)動(dòng)位移最長(zhǎng)時(shí)，運(yùn)行時(shí)間最短，所以粗糙面前端應(yīng)放在離桌面最左端3L/4處．
勻速直線運(yùn)動(dòng) t₁=$\frac{\frac{3L}{4}}{{v}_{o}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$
勻減速直線運(yùn)動(dòng)t₂=$\frac{{v}_{0}-v}{μg}$=（$\sqrt{2}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
勻速直線運(yùn)動(dòng)t₃=0
最短時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃+t₄=（$\frac{7\sqrt{2}}{4}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$
答：（1）未知粗糙面的長(zhǎng)度X為$\frac{L}{4}$，
（2）若測(cè)得小物塊從進(jìn)入桌面到落地經(jīng)歷總時(shí)間為$\frac{5}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$，則粗糙面的前端離桌面最左端的距離$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
（3）粗糙面放在何處，滑塊滑過(guò)桌面用時(shí)最短，該時(shí)間為=（$\frac{7\sqrt{2}}{4}-1$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式、以及動(dòng)能定理，運(yùn)動(dòng)階段較多提升了題目的難度，關(guān)鍵是確定出粗糙面的位置．