Question

8．質(zhì)量為M的斜面傾角為θ，在水平面上保持靜止，當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在斜面上時(shí)正好勻速下滑．若用與斜面成α角的力F拉著木塊勻速上升，如圖，求：
（1）當(dāng)α為多少時(shí)，拉力F有最小值，并求出這個(gè)最小值；
（2）此時(shí)水平面對(duì)斜面的摩擦力是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，利用正交分解，在沿斜面方向和垂直于斜面方向都平衡，進(jìn)行求解
（2）采用整體法，對(duì)m、M構(gòu)成的整體列平衡方程

解答 解：（1）選木塊為研究對(duì)象，當(dāng)沒加外力F時(shí)正好勻速下滑，設(shè)木塊與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，此時(shí)平行于斜面方向必有：
mgsinθ=μmgcosθ…①
當(dāng)加上外力F時(shí)，對(duì)木塊受力分析如下圖：

則有：f=μN(yùn)…②
平行于斜面方向：f+mgsinθ=Fcosα…③
垂直于斜面方向：N+Fsinα=mgcosθ…④
由①②③④解得，F(xiàn)=$\frac{2mgsinθ}{cosα+μsinα}$…⑤
聯(lián)立①⑤得：F=$\frac{mgsin2θ}{sin（\frac{π}{2}-θ+α）}$
故當(dāng)α=θ時(shí)，分母最大，F(xiàn)有最小值，最小值為：
F_min=mgsin2θ…⑥
（2）選物體和M和m整體為研究對(duì)象，設(shè)水平面對(duì)木楔M的摩擦力是f′，水平方向受力平衡，則有：
f′=F_mincos（θ+α）=F_mincos2θ…⑦
由⑥⑦得：f′=$\frac{1}{2}$mgsin4θ
答：（1）當(dāng)α=θ時(shí)，拉力F有最小值為mgsin2θ
（2）此時(shí)水平面對(duì)斜面的摩擦力是$\frac{1}{2}$mgsin4θ

點(diǎn)評(píng) 木塊放在斜面上時(shí)正好勻速下滑隱含摩擦系數(shù)的數(shù)值恰好等于斜面傾角的正切值，當(dāng)有外力作用在物體上時(shí)，列平行于斜面方向的平衡方程，找到外力F的表達(dá)式，討論F取最小值的條件，求解第二問時(shí)，靈活選用整體的思想較好，總體上看此題有一定難度．