Question

13．在坐標(biāo)系xOy平面的第一象限內(nèi)，有一個勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時間作周期性變化，如圖所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場方向為正，一個質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子，在t=0時刻從坐標(biāo)原點以初速度v₀沿x軸正方向射入，不計重力的影響，經(jīng)過一個磁場變化周期T（未知）的時間，粒子到達第I象限內(nèi)的某點P，且速度方向仍與x軸正方向平行同向，則．
（1）粒子進入磁場后做圓周運動的半徑是多大？
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場變化的周期T為多大？
（3）因P點的位置隨著磁場周期的變化而變化，試求P點的縱坐標(biāo)的最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑．
（2）求出粒子做圓周運動的周期，根據(jù)粒子運動過程求出磁場的周期．
（3）作出粒子運動軌跡，根據(jù)粒子軌道半徑，應(yīng)用幾何知識求出P點縱坐標(biāo)的最大值．

解答 解：（1）粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子做圓周運動的周期：T₀=$\frac{2πm}{qB}$，
O、P連線與x軸之間的夾角為45°，由對稱性可知，粒子經(jīng)過兩個$\frac{1}{4}$圓周到達P點，則磁場的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀=$\frac{πm}{qB}$；
（3）設(shè)兩圓弧的圓心O₁O₂連線與y軸夾角為θ，P點的縱坐標(biāo)為y，圓心O₂到y(tǒng)軸之間的距離為x，由幾何關(guān)系可得：
y=2r+2rcosθ，sinθ=$\frac{x}{2r}$，
要保證粒子在第一象限內(nèi)運動，需滿足：x≥r，
當(dāng)θ=30°時，y最大，y_最大=（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）粒子進入磁場后做圓周運動的半徑是$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場變化的周期T為$\frac{πm}{qB}$；
（3）因P點的位置隨著磁場周期的變化而變化，P點的縱坐標(biāo)的最大值為（2+$\sqrt{3}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，粒子在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子做圓周運動的周期公式可以解題．