Question

16．如圖為某種魚餌自動投放器中的裝置原理圖．其上半部BC段是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口與水平方向垂直，下半部分AB段是一長為2R的豎直細(xì)管，AB管內(nèi)有一根原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時，每次總將撣簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放入一粒魚餌．解除鎖定時，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C點(diǎn)時，對管壁的作用力恰好為零，若不計(jì)魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失，且假設(shè)每次鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能，已知重力加速度為g，求：
（1）魚餌到達(dá)管口C點(diǎn)時的速度v₁；
（2）每次壓縮彈簧，貯存的彈性勢能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，從魚餌飛出管口到落至水面，水平射程x₁多遠(yuǎn)？入水時的速度v₂多大？
（4）若使該投餌器繞AB管的豎直軸線OO′在90°角范圍內(nèi)，在水平方向來回緩慢轉(zhuǎn)動．每次彈射時只投放一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量控制在$\frac{2}{3}$m到m之間不等變化，且均能落到水面，持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落在水面上的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口時對管壁的作用力恰好為零，可知此時魚餌所受重力完全提供魚餌圓周運(yùn)動的向心力，據(jù)此求得速度；
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機(jī)械能；
（3）魚餌離開C后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋知識求水平射程及入水時的速度；
（4）分別求出質(zhì)量是m和$\frac{2m}{3}$的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運(yùn)動規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過90°時，魚餌在水平面形成兩個$\frac{1}{4}$圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）魚餌離開C時恰好對管壁無作用力，故可知在C點(diǎn)魚餌所受重力完全提供圓周運(yùn)動向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
解得：v₁=$\sqrt{gR}$…②
（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有：
E_p=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）魚餌離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，故根據(jù)平拋射程公式有：
魚餌的水平射程為：${x}_{1}={v}_{1}\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{gR}\sqrt{\frac{2（R+2R+1.5R）}{g}}=3R$
根據(jù)動能定理有：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可是魚餌到達(dá)水面時的速度為：
${v}_{2}=\sqrt{2gH+{v}_{1}^{2}}=\sqrt{2g（R+2R+1.5R）+gR}$=$\sqrt{10gR}$
（4）當(dāng)魚餌質(zhì)量為$\frac{2m}{3}$時，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
${E}_{P}=\frac{2}{3}mg（2.5R）+\frac{1}{2}×（\frac{2m}{3}）{{v}_{1}^{′}}^{2}$
解得：${v}_{1}^{′}=2\sqrt{gR}$
離開C做平拋的射程為：${x}_{2}={v}_{1}^{′}\sqrt{\frac{2H}{g}}=2\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×4.5R}{g}}=6R$
由幾何知識知，魚餌投射到水面區(qū)域的半徑：
r₁=x₁+R=4R
r₂=x₂+R=7R
所以對應(yīng)投射面積為：
$S=\frac{1}{4}（π{r}_{2}^{2}-π{r}_{1}^{2}）=\frac{1}{4}π[（7R）^{2}-（4R）^{2}]$=8.25πR²
答：（1）魚餌到達(dá)管口C點(diǎn)時的速度v₁為$\sqrt{gR}$；
（2）每次壓縮彈簧，貯存的彈性勢能E_p為3mgR；
（3）已知地面與水面相距1.5R，從魚餌飛出管口到落至水面，水平射程x₁3R，入水時的速度v₂為$\sqrt{10gR}$；
（4）若使該投餌器繞AB管的豎直軸線OO′在90°角范圍內(nèi)，在水平方向來回緩慢轉(zhuǎn)動．每次彈射時只投放一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量控制在$\frac{2}{3}$m到m之間不等變化，且均能落到水面，持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落在水面上的最大面積S是8.25πR²．

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的動力學(xué)方程和平拋運(yùn)動規(guī)律，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關(guān)鍵，這是一道比較困難的好題．